Поверхности. Способ задания поверхности презентация

Задание поверхности на чертеже
2. Определителем – совокупностью геометрических элементов, позволяющих реализовать закон образования поверхности
1. Каркасом – семейством линий или точек
3. Очерком – проекцией контурной линии поверхности
Поверхность – непрерывная совокупность последовательных положений некоторой движущейся в пространстве линии.
Все поверхности можно изобразить на плоскости, задавая проекции линий и точек, принадлежащих поверхности.
Поверхность считается заданной на чертеже, если можно построить проекцию любой точки, ей принадлежащей.
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Каркасный способ задания поверхности
Каркас поверхности – упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности.
Если поверхность задается упорядоченным множеством точек – каркас точечный, в случае задания поверхности совокупностью линий – каркас линейный.
Линии каркаса получаются при сечении поверхности γ плоскостями (α и β), расположенными под углом 90° и параллельными плоскостям проекций
А13
А1i
А1n
А12
А11
А21
Аi1
Аn1
а3
аi
аn
а2
а1
b1
b2
bi
bn
А22
Аi3
А2n
Аin
А2i
Аii
А23
Аi2
Аn2
Аn3
Аni
Аnn
а
b
β
α
γ
90°
рис. 7.1
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Кинематический способ образования поверхностей
Поверхность – непрерывная совокупность последовательных положений линии gj , перемещающейся в пространстве по определенному закону.
Образующая ( g ) – линия (прямая или кривая), которая при своем движении образует поверхность.
Направляющие (d ) – линии (прямые или кривые), задающие направление (закон) движения образующей.
Признак принадлежности точки поверхности
Если точка принадлежит поверхности, то проекции точки принадлежат одноименным проекциям линии, лежащей на поверхности
Рис. 7.2
g
d1
d2
d3
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Определитель поверхности
Определитель поверхности – необходимая и достаточная совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.
Ф (Г); [A]
(Г) – геометрическая часть ( содержит перечень геометрических фигур, участвующих в задании поверхности, и отношений между ними);
[A] – алгоритмическая часть ( описывает закон движения и изменения образующей).
Ф (g, d1 , d2 , d3); [gi ∩ {d1 , d2 , d3} ≠ Ø] (рис. 7.2)
На чертеже поверхность задают проекциями геометрических фигур, входящих в состав геометрической части определителя.
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Классификация поверхностей
1 класс
2 класс
группа 1.А
группа 1.Б
подкласс 1
подкласс 2
подкласс 3
Ф (g, d ) ; [ gi = Td (g ) ]
Ф (g, i ); [ gi = Ri (g ) ]
Ф (g, i ); [ gi = Ri (g ) ○ Ti (g ) ]
ПОВЕРХНОСТИ Ф(Г);[A]
Поверхности
нелинейчатые
Поверхности
линейчатые
С образующей переменного вида вида
С образующей постоянного вида
Поверхности параллельного переноса
Поверхности вращения
Поверхности винтовые
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Поверхности линейчатые
Поверхности линейчатые
С тремя направляющими
С одной направляющей
С двумя направляющими
Косой цилиндр с тремя направляющими
Дважды косой цилиндроид
Дважды косой коноид
Однополостной гиперболоид
Поверхность с ребром возврата
Поверхность цилиндрическая
Поверхность коническая
Плоскость
[А]-образующая составляет постоянный угол
с направляющей плоскостью
[А]-образующая параллельна плоскости параллелизма
Дважды косая плоскость
Косой коноид
Косой цилиндроид
Прямой цилиндроид
Прямой коноид
Косая плоскость
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Линейчатые поверхности с тремя направляющими
Дважды косой
цилиндроид
Косой цилиндр с тремя направляющими
Однополостной
гиперболоид
Дважды косой
коноид
Ф (g, d1 , d2 , d3); [gi ∩ {d1 , d2 , d3} ≠ Ø]
d1
d2
d3
g
d1
d2
d3
g
M1
L1
N1
Mi
d1
d2
d3
Li
Ni
gi
gi
Mi
Ni
d1
d2
d3
Li
d1
d2
d3
gi
Mi
Ni
Li
g
Рис. 7.3
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и направляющей плоскостью
Ф ( g, d1 , d2 , α ); [ gi ∩ {d1 , d2 } ≠ Ø ᴧ (gi ^ α) = ϕo ]
α – направляющая плоскость,
Если ϕ = 0o ,
то α – плоскость параллелизма
α
f°
f°
f°
Рис. 7.4
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана
d1
d2
g1
g2
gi

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) g ║ α
Ф ( g, d1 , d2 , α ); [ gi ∩ {d1 , d2 } ≠ Ø ᴧ (gi ^ α) = 0o ]
Косая плоскость
Поверхность прямого
цилиндроида
Поверхность прямого
коноида
Мi
Ni
d1
d2
gi
γ
h0γ
Мi′
d1′
d2′
Ni′
gi ′
γ
h0γ
d1′
d2′
gi ′
Мi′
Ni′
d1
d2
Ni
Мi
gi
gi
γ
h0γ
d2
Ni
Мi
d1
gi ′
Ni′
d2′
d1′
Мi′
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

2"
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
8'
9'
10'
11'
12'
4"
6"
8"
1"
3"
5"
7"
9"
10"
11"
12"
B"
A"
B'
A'
gi'
gi"
Прямой цилиндроид
d1'
d2'
h0α
f0α
x
d1"
d2"
Ф (g, d1 , d2 , α ); [gi ∩ {d1 , d2 } ≠ Ø ᴧ (gi ^ α) = 0o]
Рис. 7.5
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана
gi ║ h0α
l'
l"

Гиперболический параболоид (косая плоскость)
Косая плоскость формируется при движении прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим, при этом образующая все время параллельна плоскости параллелизма
2"
d1'
d2'
3'
d1"
d2"
1"
3"
5"
7"
8"
6"
4"
l"
9"
10"
11"
1'
5'
7'
2'
4'
6'
8'
9'
10'
11'
f0α
x
l'
A'
A"
Ф (g, d1 , d2 , α ); [gi ∩ {d1 , d2 } ≠ Ø ᴧ (gi ^ α) = 0o]
Рис. 7.6
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана
gi ║ f0α

Линейчатые поверхности с одной направляющей (торсовые поверхности)
Поверхность с ребром возврата (торс) образуется перемещением прямолинейной образующей g, в каждом своем положении касающейся некоторой пространственной кривой d. Эта пространственная кривая является для поверхности направляющей. Она называется ребром возврата:
Если ребро возврата вырождается в точку, то получается частный вид торса – коническая поверхность(если точка собственная) или цилиндрическая поверхность – если ребро возврата вырождается в несобственную точку.
Ф (g, d1 , S ); [gi ∩ d1 = Si ∈d1 ]
d
g
Si
gi
g1
g2
g3
gn
d
S
g
d
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Si
gi
g1
g2
g3
gn
d
Поверхность с ребром возврата
d'
d"
A"
S"
g"
g'
S'
A'
Рис. 7.7
Рис. 7.8
x

Цилиндрическая поверхность
g'
g"
A'
B'
g1'
d'
d"
B"
A"
g1"
d
g
Рис. 7.9
Рис. 7.11
x
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Коническая поверхность
A"
B"
S"
g"
A'
B'
g'
S
g
d
d"
x
S'
d'
Рис. 7.10
Рис. 7.12
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Подклассы поверхностей
Движение образующей g может быть задано:
направляющими линиями d законом движения поступательным вращательным винтовым
Поверхности параллельного переноса (сдвига)
– формируются при движении образующей g вдоль оси переноса. Все точки образующей перемещаются поступательно (рис. 7.13)
d
g
d
A
A1
g
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана
рис. 7.13

Поверхности вращения
- образуются при вращении образующей g (прямой или кривой) вокруг неподвижной оси вращения i . Каждая точка образующей (A, B, C ) перемещается по окружности (а, b, c) с центром на оси вращения.
i – ось вращения
g – образующая
а, b, c – параллели
b – экватор (наибольшая параллель)
c – горло (наименьшая параллель)
μ – меридиональная плоскость i ∈ μ
m – меридиан
μ0 – плоскость главного меридиана μ0 ║π
m0 – главный меридиан
Очерк поверхности – границы видимости поверхности по отношению к плоскостям проекций
i
c
μ0
C
m0
A
B
b
а
μ
g
m
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана
рис. 7.14

Вращение – перемещение точки по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Пересечение плоскости вращения с осью вращения – центр вращения. Расстояние от точки до центра вращения – радиус вращения
A'
g'
а'
A1'
i'
≡O'
x
g"
A"
O"
а"
A1"
f0α
i"
Рис. 7.15
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Поверхности вращения с прямолинейной образующей
Коническая поверхность
вращения
g ∩ i
Однополостный гиперболоид вращения
g i
Цилиндрическая поверхность вращения
g ║ i
i
i
i
g
g
g
Рис. 7.16
S
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Цилиндрическая поверхность Ф ( i, ℓ, m ); [ ℓ ∩ m ≠ Ø; ℓ ║i ]
4'
3'
z
x
y
1'
2'
m'
5’
1"
2"
3"
4"
5"
m"
2‴
1 ‴
3 ‴
4‴
5‴
m‴
y2
y2
Рис. 7.17
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Ф ( i, ℓ, m, S ); [ ℓ ∩ m ≠ Ø; ℓ ∩ i =S ]
Коническая поверхность
z
y
0
1'
y1
y1
1 ‴
S"
l"
i"
1"
n"
R
O"
yA
x
А"
S‴
i ‴
O ‴
n‴
R
A‴
yA
l‴
i'
n'
S'
O'
A'
l'
Рис. 7.18
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Поверхности вращения с образующей окружностью
При вращении окружности вокруг ее диаметра образуется сфера
Тор – поверхность, образованная вращением окружности вокруг оси, не проходящей через центр этой окружности
Сфера r = 0
g
i1
i4
i3
i2
r
R
i1
Рис. 7.19
Рис. 7.20
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Торовые поверхности
r < R
r > R
r = R
Открытый тор
Закрытый тор
Самопересекающийся тор
Рис. 7.21
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Главный меридиан
Экватор
Профильный меридиан
e'
m'
p'
B'
E'
yB
yB
p"
e"
B"
E"
C"
A"
A'
D'
C'
yD
yC
yC
yE
yE
D"
A'"
C'"
F'"
(F")
E'"
B'"
(F')
D'"
Построение проекций точек, принадлежащих сферической поверхности
p'"
m'"
e'"
yD
m"
Рис. 7.22
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Построение проекций точек, принадлежащих торовой поверхности
A"
(B")
1"
2"
c1"
c2"
A'
B'
1'
2'
c1'
c2'
x
Рис. 7.23
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

i'
Поверхности вращения с образующей кривой второго порядка
эллипс
A"
g"
i"
A'
g'
x
i
i
Эллипсоиды вращения:
вытянутый
сжатый
Рис. 7.24
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Поверхности вращения с образующей кривой второго порядка
парабола
A'
g'
i'
i"
g"
A"
x
i"
i"
Параболоид вращения
Рис. 7.25
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Поверхности вращения с образующей кривой второго порядка
гипербола
i'
A'
g'
g"
A"
i"
i
i
Гиперболоиды вращения:
однополостный
двухполостный
x
Рис. 7.26
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана

Винтовые поверхности
Винтовая поверхность формируется при винтовом движении образующей (прямой или кривой) вокруг оси.
Винтовое движение – совокупность двух перемещений: поступательного вдоль некоторой оси и вращательного вокруг той же оси.
Шаг (P) винтовой поверхности – перемещение образующей вдоль оси за один оборот
i
i
Линейчатая
винтовая поверхность
Трубчатая
винтовая поверхность
g
g
Рис. 7.27
Московский государственный
технический университет
им. Н.Э. Баумана