Электрические однофазные цепи синусоидального тока презентация

В электрических цепях электро-, радио- и других установках широко применяются
периодические ЭДС, напряжения и токи. Периодические величины изменяются во
времени по значению и направлению. Эти изменения повторяются через равные
промежутки времени Т, называемые периодом.
е
t
T
е
t
T
е
ωt
T
ωt
е
В линейных электрических цепях синусоидального тока
ЭДС, напряжения и токи изменяются во времени
по синусоидальному закону , например,
e = Emах sin(ωt ± Ψe),
u = Umах sin(ωt ± Ψu),
i = Imах sin(ωt ± Ψi),
Основные понятия и определения
T

+Eмах
-Eмах
е
ωt
T
е1
T - период
f = 1/T – частота
e, u, i – мгновенные значения ЭДС, напряжения, тока
Eмах, Uмах, Iмах - амплитудные значения ЭДС, напряжения, тока
ωt +Ψe – фаза
Ψe – начальная фаза
Положительная начальная фаза откладывается влево от начала координат, а
отрицательная − вправо.
Знак начальной фазы определяется знаком мгновенного значения e, u. i при t = 0.

u = Umахsin(ωt + ψu),,
i = Imахsin(ωt − ψi).
= Ψu - Ψi
Совокупность векторов E, U, I, относящихся
к одной электрической цепи называют векторной диаграммой.
Знак угла − сдвига фаз между векторами
U и I, определяется направлением от
вектора тока к вектору напряжения.
φ
Графическое изображение синусоидального тока

Действующим значением синусоидального тока называют такое значение
постоянного тока, при прохождении которого по одному и тому же
сопротивлению R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты,
сколько при прохождении синусоидального тока.
Количество теплоты Q, выделяемое в резисторе R за время Т при синусоидальном токе:
, а при постоянном токе:
;
;
Так как Qsin = Qпост, то
Действующие и средние значения синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов
;

За среднее значение синусоидального тока принимают такое значение постоянного тока,
при котором за половину периода переносится такой же электрический заряд, что и при
синусоидальном токе.
Iср = 0,637Imax
Uср = 0,637Umax
Eср = 0,637Emax

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с
осями ±1 и ±j, где
− мнимая единица, символ.
Комплексные значения синусоидальных величин обозначают
несинусоидальных − z, S.
Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия
(при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму,
а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).
Алгебраическая форма записи:
.
Тригонометрическая форма записи:
İ = Icosψi + jIsinψi .
Показательная форма записи:
I − модуль действующего значения тока, равный длине вектора;
где
− действительная составляющая тока;
) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е.угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0.
- мнимая составляющая тока
ψi = arctg (
)
При расчете цепей синусоидального тока (и простых, и сложных) все законы и методы расчета
цепей постоянного тока действительны при условии, что все величины сопротивлений,
напряжений и токов выражены в комплексных числах.
Комплексный метод расчета

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера
через тригонометрическую форму записи
Например:
i = 10cos37˚ + j10sin37º = 10 ·0,8 + j10 0,6 = 8 +j6 =
Умножение комплексного числа на + j приводит к увеличению его аргумента на 90º
и повороту вектора на 90º против часовой стрелки (в положительном направлении);
умножение на −j – к уменьшению аргумента на 90º и повороту вектора на 90º
в отрицательном направлении (по часовой стрелке).
При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные
величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные
по знаку аргументы:
еjarctg6/8 = 10ej37°

Закон Oма для участка цепи:
напряжения источников питания, расположенных в контуре;
Zk и İk − сопротивления и токи отдельных приемников энергии, расположенных в этом контуре.
Y = 1/Z =
где Y – комплексная полная проводимость,
Первый закон Кирхгофа:
İk = 0,
где İk − токи, сходящиеся в одном узле.
Второй закон Кирхгофа:
Zkİk,
=
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Для упрощения расчета электрической цепи синусоидального тока реальную
цепь заменяют схемой замещения, составленной из так называемых
«идеальных» элементов:
резистивный элемент с активным сопротивлением R(Ом),или активной проводимостью G = 1/R(Cм);
индуктивный элемент с индуктивностью L (Гн) и реактивным индуктивным сопротивлением XL = 2πƒL(Ом ) или реактивной индуктивной проводимостью BL = 1/XL (См);
емкостный элемент с емкостью С, и реактивным емкостным сопротивлением XC = 1/2πƒC (Ом) или реактивной емкостной проводимостью BC = 1/XC,( (См).
При расчете цепей синусоидального тока (и простых, и сложных) все
законы и методы расчета цепей постоянного тока действительны при
условии, что все величины сопротивлений, напряжений и токов
выражены в комплексных числах.
Пассивные элементы в цепи синусоидального тока

Напряжение u = Umахsinωt. ψu = 0 º.
i = Umахsinωt/R = Iмахsinωt, ψi = 0°
Imах = Umах/R или I = U/R.
Напряжение u и ток i в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе.
Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи:
φ = ψu − ψi = 0° − 0° = 0°
Комплексные напряжение и ток цепи с резистивным элементом:
Ù = Uej0; ψu = 0°;
İ = Iej0; ψi = 0° .
Комплексное сопротивление цепи:
Z = Ù /İ = Uej0/Ie j0= R
+1
+J
0
İR
UR
iR
uR
uR,
iR
0
ωt
Цепь с резистивным элементом
Временная диаграмма
Векторная диаграмма

Мощность цепи с R-элементом:
p = ui = Umахsinωt Imахsinωt = U * I (1 – cos2ωt ),
В цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Среднее значение мощности за период равно активной мощности, так как cosφ = 1.
Комплексная мощность:
= Se j φ = UIcos0º + jUIsin0º =UI, ВА
Р = UI = RI2, Вт[кВт, мВт]
S

Напряжение u = Umахsinωt
еL = −wdФ/dt = −Ldi/dt,
u − uL = 0, u = − еL,
Umах sinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = Umахsinωt/L.
i = − Umахcosωt/ωL = Umахsin(ωt − π/2)/ωL = Imахsin(ωt − π/2).
Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = Ом.
Это индуктивное сопротивление:XL = ωL = 2πfL.
Ù = Ue j0, ψu = 0o; İ = Ie −j90, ψi = −90°
φ = 0° – (−90° ) = +90o
Ù /İ = Ue j0/Ie −j90 = XLej90 = jXL;
=
Цепь с индуктивным элементом
Таким образом, синусоида тока в цепи с идеальной индуктивной катушкой
отстает от синусоиды напряжения на угол 90º.
Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи:

Векторная и временная диаграмма цепи с идеальной
индуктивностью

P = ui = Umахsinωt * I mахsin(ωt − 90°) = −UIsin2ωt.
Энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в
другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией
характеризуется реактивной мощностью QL = UI,вар [квар, мвар]
= Sejφ = UIcos90° + jUIsin90° = jUI
QL = UI = XLI2, вар[квар,мвар]
S =
Мощность в цепи с идеальной индуктивной катушкой

Комплексное сопротивление цепи с реальной индуктивной катушкой при
R = 8 Ом, ХL = 6 Ом равно:
Реальная индуктивная катушка в цепи переменного тока
Напряжение сети u = 14,1 sin ωt, R = 10 Ом, L = 0,03 Гн. Определите комплексные сопротивление и ток цепи в алгебраической и показательной формах эаписи.
Задача
8 +j6 =
еjarctg6/8 = 10ej37°
Z =

.
По II ЗК Кирхгофа: u = uc.
u = Umахsinωt,
Q = Cuc, где uс − падение напряжения на конденсаторе
i = dQ/dt = ωCUmахcosωt = ωCUmахsin(ωt + π/2) = Imахsin(ωt + π/2),
Imах = ωCUmах = Umах/(1/ωC).
Величина 1/ωC имеет размерность сопротивления,
[с/Ф = сВ/Кл = = сВ/сА = Ом]. Это емкостное сопротивление
Xс = 1/ωC = 1/2πfC.
= Uej0; ψu = 0º;
İ = Ie j90;; ψi = + 90º;
= Ù /İ
Цепь с конденсатором
Таким образом, синусоида тока в цепи с конденсатором опережает синусоиду напряжения на угол 90º.
φ = ψu − ψi = 0º − 90º = − 90º.
Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи:

Векторная и временная диаграмма цепи с конденсатором

Р = ui = Uмахsinωt * I mахsin(ωt + 90°) = UIsin2ωt,
Энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в
другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией
характеризуется реактивной мощностью Qс = – UI,вар [квар, мвар]
= =Se−jϕ = UIcos90° – jUIsin90°= – jUI
Qc = –UI= –ХсI2, вар
S =
Мощность цепи с конденсатором

u = UmахRsinωt + UmахLsin(ωt + π/2) +
+UmахC sin(ωt − π/2) = Umaxsin(ωt + φ).
i = Iмахsinωt
u = uR + uL + uC
Полное напряжение цепи состоит из двух синусоидальных слагаемых одинаковой
частоты, а, следовательно, являются так же синусоидальными с некоторой
амплитудой Umах и фазовым углом φ (при условии, что начальная фаза тока равна 0).
u = Umахsin(ωt+φ).
XL>XC и
I
+1
+j
U L
UR
U
UP = UL - UC
UC
φ
Ψi= 0
UC
UR
Последовательное соединение R, L, C
Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением R, L, C при

= IR + I jXL − I jXC = I[(R + j(XL − XC)] = Ue
Z =
сопротивление цепи
φ = arctg(XL – XC) / R
XL − XC – реактивное сопротивление цепи
I = U/z – ток цепи
Модуль комплексного
сопротивления - полное
Аргумент комплексного сопротивления цепи – сдвиг по фазе синусоид напряжения и тока
Комплексное напряжение цепи
j
φ

Z = U/I
R = UR/I
X = (UL – UC)/I
φ
φ
R = Zcosφ; X = Zsinφ;
P = Scosφ; Q = Ssinφ;
cosφ = UR/U = R/Z = P/S; cosφ – коэффициент мощности – важный показатель
электрооборудования. Определяет, какую часть от полной мощности составляет
активная мощность, мощность, расходуемая на совершение полезной работы.
φ
U
UR
UP = UL - UC
UR = Ucosφ;Up = Usinφ;
S
P
Qр = QL - QC
Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей
S =

Резонанс – это явление в электрической цепи, при котором ток и напряжение цепи совпадают
по фазе. Резонанс напряжений возникает в цепи при последовательном соединении элементов,
при XL = XC. Так как при этом Z = R, т. е. полное сопротивление имеет минимальное значение,
следовательно, ток цепи будет максимальным. В этом режиме резко возрастают напряжения
на реактивных элементах XL и XC. Происходит непрерывный обмен энергии между магнитным
полем катушки и электрическим полем конденсатора.
Равенства ХL и XC можно добиться изменением L, C, f.
f
Резонанс напряжений

Параллельное соединение R, L, C
U = Umaxsinωt
i R = ImахRsinωt;
i L = ImахLsin(ωt − π/2);
i C = ImахCsinωt(ωt + π/2).
IR =U/R=GU; IL=U/XL = BLU; IC = U/XC = BCU.
где G = 1/R; BL = 1/XL; BC = 1/XC, Y = 1/Z
– активная, индуктивная, емкостная и
полная проводимости цепи.
I = U/Z =YU, А

,
По I ЗК для цепи:
İ = İR + İL + İС ;
В комплексной форме записи: напряжение источника питания
+j
+1
İR
İL
İc
İ
φ
Треугольник токов
Треугольник проводимостей
G = Ycosφ;
B = Ysinφ;
φ = arctg(B/G) = arctg((BL – BC)/G).
I =
_
+1
+j
İR
İL
İc
Векторные диаграммы
Полная проводимость цепи в комплексной форме
ВL> ВC
ВL< ВC
İ
φ

I = YU =
ϕ = 0
Состояние цепи, когда общий ток совпадает по фазе с
напряжением, реактивная мощность равно нулю, а цепь
потребляет только активную мощность, называют
резонансом токов.
В режиме резонанса токов ток IL равен току IC.
Эти токи могут превышать общий ток I в цепи
в BL/G (Bc/G) раз, если BL = BC > G.
I
cosφ=1
Резонанс токов
С

Y1 = 1/Z1 = 1/(R1+jX1)= (R1 − jXL)/(R1 + jXL) (R1 – jXL) =
Активная проводимость.
Индуктивная проводимость:
Полная проводимость ветви с R и C
Y2 = 1/Z2 = 1/( R2 – jXC) = (R2+JXC)/[(R2− jXC)(R2 + jXC)] =
Емкостная проводимость
Комплексный ток цепи:
Полная проводимость ветви с R и L
Полная проводимость всей цепи при BL > BC:
=
Активная проводимость
Параллельное соединение ветвей с разным характером нагрузки
2
−jφ
Y= Y1 + Y2 = (G1 + G2)+ j(BC – BL) = Y е

Резонанс токов нашел широкое применение в
мероприятиях по повышению коэффициента мощности
промышленных предприятий.
Реактивная мощность конденсаторной батареи уменьшает общую реактивную мощность
установки, так как Q = QL – QC, и тем самым увеличивает коэффициент мощности.
Повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока в проводах, соединяющих
потребитель с источником питания и полной мощности источника.
İл1
Повышение коэффициента мощности

В электрической цепи, к которой приложено напряжение u = Umaxsinωt
и в которой протекает ток Imахsin(ωt - φ), мгновенная мощность, поступающая в цепь будет равна:
р = UmaxImax sinωtsin(ωt - φ ) = UI((cos φ − cos(2ωt − φ ))
имеет две составляющие: постоянную UIcos φ и косинусоидальную, UI(cos(2ωt − φ),
имеющую удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока.
Среднее значение второй составляющей за время Т, в течение которого она совершает
два цикла изменений, равна нулю.
Активная мощность однофазной цепи P, Вт (кВт):
Реактивная мощность Q, вар(квар):
Q = UIsinφ = I2X = U2B,
где X = XL – XC − реактивное сопротивление;
B = BL – BC − реактивная проводимость;
Q = QL − QC, где QL − индуктивная мощность,
QC − емкостная мощность, Q − реактивная мощность.
Полная мощность S, В∙А(кВ∙А),:
:
S = Sejφ =
= UIcosφ + jUIsinφ =P+jQ,ВА
Комплексная полная мощность: S , В•А (кВ∙А):
Мощность однофазной цепи синусоидального тока
S=
= I2Z = U2Y

Расчет электрической цепи комплексным методом ведут в следующей
последовательности:
1) определяют комплексные сопротивления отдельных ветвей и всей цепи;
2) в зависимости от типа электрической цепи выбирают метод расчета цепи
(если цепь простая – метод свертывания; сложная – какой-либо из методов
расчета сложных цепей);
3) определяют токи и напряжения ветвей;
4) правильность расчета проверяют составлением баланса активных и реактивных
мощностей:
Рист = Σ Рпр , Qист = Σ Qпр, Sист =
I* = Pист ± jQист ,
Методика расчета однофазных цепей синусоидального тока