Колебания и волны презентация

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.
Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.
Между различными видами колебаний, такими как механические, электромагнитные, химические и т.д., происходящих в замкнутых и открытых системах, существуют много общего. Поэтому, в этом разделе
наряду с рассмотрением отдельных видов колебаний изучается и то, что их объединяет, а именно: общие для них понятия (период Т, амплитуда А, фазаколебаний φ и т.д.), дифференциальные уравнения и их решения.

По характеру воздействия на колебательную систему выделяют:
Свободные (или собственные) колебания – колебания, совершаемые за счет первоначально сообщенной энергии при отсутствии внешних воздействий на колебательную систему
Затухающие колебания - колебания, совершаемые за счет первоначально сообщенной энергии в системе при наличии сил трения либо сопротивления
Вынужденные колебания – колебания, в процессе которых колебательная система подвергается воздействию внешней периодически действующей силы

Механические колебания и волны
Гармонические колебания и их характеристики
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени.
Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.
А — амплитудой колебания, максимальное значение величины,
ω0 — круговая (угловая) частота,
ϕ — начальная фаза колебания, в мо­мент времени t=0,
(ω0t+ϕ) — фаза колебания в момент времени t.

- период колебаний
- частота колебаний
Связь между угловой и обычной частотой колебаний:
Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, при кото­рой за 1 с совершается один цикл процесса.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
Решение дифференциального уравнения:

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники
Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описыва­емые уравнением вида;
1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx.
Физические примеры гармонических осцилляторов.

Уравнение движения маятника:
Пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону:
с циклической частотой
и периодом

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.
Момент M возвращающей силы:
— возвращающая сила.

Уравнение динамики физического маятника:
или:
где:
Решение динамического уравнения:

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.
Период малых колебаний математического маятника:

Характеристики колебаний:

Сложение колебаний

Для дальнейшего рассмотрения теории колебаний вспомним некоторые моменты теории комплексных переменных

1) Сложение параллельных колебаний одинаковой частоты.
Пусть имеется два гармонических сигнала
Постановка задачи:
Сложение гармонических колебаний

Необходимо сложить два колебания с одинаковыми частотами:

Суммарное колебание s0(t) опережает по фазе колебание s1(t) и отстает по фазе от колебания s2(t).

2) Сложение параллельных гармонических колебаний
с близкими частотами.
Найдем сумму двух гармонических колебаний, частоты которых различны, но близки по величине:

Суммарное колебание можно рассматривать как «почти синусоидальное» колебание с «условным периодом»:
и с медленно меняющейся «амплитудой»
Периодические изменения амплитуды описанного выше вида называются биениями.
Период биений:
Частота биений равна разности частот слагаемых колебаний:

Чтобы получить траекторию движения, исключим из выражений текущее время и преобразуем синус по формулам тригонометрии:
3) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами.

Умножим первое уравнение на cos φ2, а второе — на cos φ1 и вычтем второе уравнение из первого
Теперь умножим первое уравнение на sin φ2, а второе — на sin φ1 , повторим вычитание, получим:
Возведем в квадрат каждое из равенств и сложим их.
В результате время будет исключено, а уравнение траектории движения будет уравнением эллипса:

В результате будут совершатьcя периодические движения по эллиптической траектории. Направление движения вдоль траектории и ориентация эллипса относительно осей s1 и s2 зависят от разности фаз Δφ = φ2 – φ1 .
При разности фаз 0 < Δφ < π вектор движется по часовой стрелке, а при π < Δφ < 2 π -против часовой стрелки.

4) Сложение перпендикулярных колебаний с кратными частотами.
mω02 = nω01, где m и n - целые числа.
Траектории движения представляют собой замкнутые кривые, называемые фигурами Лиссажу.

Затухающие колебания происходят в замкнутой механической системе (Fвнеш=0), в которой имеются потери энергии на преодоление сил сопротивления, в следствие чего амплитуда затухающих колебаний с течением времени уменьшается .
Затухающие механические колебания

Характеристики затухающих колебаний

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая подталкивала бы тело то в одну, то в другую сторону и работа которой непрерывно восполняла бы убыль энергии, затрачиваемой на преодоление трения. Подобная переменная сила называется вынуждающей силой, а возникающие под ее действием незатухающие колебания - вынужденными.
В простейшем случае вынуждающая сила изменяется по закону синуса или косинуса, т.е
- амплитуда вынуждающей силы, - частота колебаний вынуждающей силы.
Вынужденные колебания

Электромагнитные колебания.
Свободные электромагнитные колебания.
Электрический колебательный контур. Формула Томсона.
Электромагнитные колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность L и емкость C. Такая цепь называется колебательным контуром. Возбудить колебания в таком контуре можно, например, предварительно зарядив конденсатор от внешнего источника напряжения, соединить его затем с катушкой индуктивности.
Поскольку внешнее напряжение к контуру не приложено, сумма падений напряжений на емкости и индуктивности должна быть равна нулю в любой момент времени:
откуда, учитывая, что сила тока , получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний электрического заряда в колебательном контуре
.

Если ввести обозначение
,
то полученное уравнение принимает вид:
.
Решением этого уравнения, как известно, является функция
. Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0, называемой собственной частотой колебательного контура. Период колебаний определяется по формуле Томсона (Thomson W., 1824-1907):
Напряжение на конденсаторе:
,
где - амплитуда напряжения.
Сила тока в контуре:
.

Сопоставляя полученные выражения, видим, что когда напряжение на конденсаторе, а значит энергия электрического поля, обращается в нуль, сила тока, а, следовательно, энергия магнитного поля, достигает максимального значения. Таким образом, электрические колебания в контуре сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.
Амплитуды тока Im и напряжения Um связаны между собой очевидным соотношением:
.

Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний

Свободные затухающие колебания. Добротность колебательного контура.
Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением. Энергия электрических колебаний в таком контуре постепенно расходуется на нагревание сопротивления, переходя в джоулево тепло, вследствие чего колебания затухают.
Уравнение свободных затухающих колебаний можно получить, исходя из того, что в отсутствии внешнего источника напряжения, сумма падений напряжений на индуктивности, емкости и сопротивлении равна нулю для любого момента времени:
или, поскольку ,
.
Введя обозначение
,
этому уравнению можно придать вид:
.

Решение полученного уравнения имеет вид:
, где
Мы видим, что частота свободных затухающих колебаний ω′ меньше собственной частоты ω0. Подставив значения ω0 и β, получим:
Амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора q0(t) уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Коэффициент β называется коэффициентом затухания.

Затухание колебаний принято характеризовать декрементом колебаний λ, определяемым как:
.
Легко видеть, что декремент колебаний обратен по величине числу колебаний Ne, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз: λ=1/Ne. Добротностью колебательного контура называется величина:
Из этой формулы видно, что добротность тем выше, чем меньше коэффициент затухания β. При малых затуханиях (λ<<1) можно приближенно считать, что
.
Амплитуда тока в контуре, как и заряд на конденсаторе, убывает со временем по закону e-βt. Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды тока (или квадрату напряжения на конденсаторе). Следовательно, W убывает со временем по закону e-2βt. Относительное уменьшение энергии за период колебания Т (при малом затухании) есть:
.
Таким образом, потери энергии в колебательном контуре тем меньше, чем выше его добротность.

Вынужденные электрические колебания
Если в цепь электрического контура, содержащего емкость, индуктивность и сопротивление, включить источник переменной ЭДС, то в нем, наряду с собственными затухающими колебаниями, возникнут незатухающие вынужденные колебания. Частота этих колебаний совпадает с частотой изменения переменной ЭДС.
Чтобы получить уравнение вынужденных колебаний, надо, согласно второму правилу Кирхгофа, приравнять сумму падений напряжений на элементах контура приложенной ЭДС:
или
где Е0 - амплитуда переменной ЭДС; ω – ее циклическая частота.

Интересующее нас частное решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
где
Решение соответствующего однородного уравнения, представляет собой свободные затухающие колебания, которые с течением времени становятся исчезающе малыми, и их можно в дальнейшем не учитывать.
Выпишем формулы для силы тока в цепи и падений напряжений на каждом из элементов контура.
Сила тока: ,
.
По аналогии с законом Ома для полной цепи по постоянному току величину
называют полным сопротивлением цепи по переменному току. Эта величина называется также импедансом цепи. Сопротивление R называют активным сопротивлением (на нем выделяется тепло). Чисто мнимые сопротивления ωL и
называют соответственно индуктивным и емкостным реактивными сопротивлениями (на них тепло не выделяется).

Напряжение на сопротивлении R:
, .
Напряжение на конденсаторе С:
, .
Напряжение на катушке индуктивности L:
, .
Сравнивая написанные формулы, видим, что изменение напряжения на сопротивлении следует за изменением силы тока в цепи без отставания или опережения по фазе, изменение напряжение на конденсаторе отстает по фазе на , а на индуктивности опережает по фазе на изменение тока.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Электромагнитная волна – это перемещающееся в пространстве переменное электромагнитное поле. Существование ЭМВ объясняется в рамках теории электромагнитного поля Дж. Максвелла.

Свойства электромагнитных волн
Э/м волны поперечны
Э/м волны распространяются со скоростью
Объемные плотности электрического и магнитного полей равны друг другу
Э/м волны переносят энергию. Например, через площадку S за малое время
Δt будет перенесена энергия: