О некоторых задачах без начальных условий презентация

Введение
Задачи без начальных условий относятся к классу задач описывающих установившиеся периодические или переходные процессы, начавшиеся так давно, что начальные данные не оказывают практически влияния на поведение решения в момент наблюдения.
Такая независимость возможна лишь по истечении достаточного времени. То есть, в таком случае можно говорить об асимптотике решений по времени, стремящимся к бесконечности. Поэтому такие асимптотики называются
«промежуточными», а соответствующие задачи без начальных условий – «вырожденными».

Введение
Например, для t ∈ (−∞, ∞) единственным ограниченным решением уравнения
du(t)
dt
+ λu(t) = 1, λ > 0.
(1)
1
λ
является u(t) = , а для t ∈ [0, ∞
) единственным решением
этого уравнения с условием
u(0) = 0,
является функция
0
1
λ
−λt
u (t) = (1 − e ).
(2)
Таким образом u(t) = 1 является промежуточной
λ
асимптотикой функции u0(t), то есть u0(t) → u(t) при t → ∞.

Введение

Постановка задачи
Определение и суть задач без начальных условий.
Обзор различных методов и подходов для решения задач без начальных условий.
Исследование примеров задач без начальных условий.

Уравнение свободных колебаний струны
Уравнение свободных колебаний струны — это уравнение, которое описывает колебания струны в отсутствие внешних сил или воздействий.
Уравнение свободных колебаний струны можно записать в виде волнового уравнения:
∂2u 2 ∂2u
∂t2 = a ∂x2 ,
(3)
где u(x, t) - функция, представляющая поперечное смещение струны в позиции x и в момент времени t, а a - скорость распространения волны по струне.

Уравнение свободных колебаний струны
Для полного описания колебаний струны с использованием уравнения свободных колебаний (3) необходимо задать начальные условия и краевые условия. Зададим следующие начальные условия:
u(x, 0) = φ(x),
∂u(x,t)
∂t
|t=0 = ψ(x)
(4)
и однородные граничные условия:
u(0, t) = 0,
u(l, t) = 0,
(5)
где l - длина струны. Это условие предполагает, что концы струны закреплены и не могут двигаться.

Уравнение свободных колебаний струны
Предполагая, что функции φ(x), ψ(x) из (4) разложимы в ряд Фурье, решение уравнения (3) c начальными и граничными условиями (4),(5) имеет вид:
∞
Σ
n=1
n n
l l l
πn πn πn u(x, t) = (A sin at + B cos at) sin x,
(6)
где
l
∫
0
2 πn
An = l φ(τ ) sin ( l τ )dτ,
Bn =
1
πna
l
∫
0
πn
l
ψ(τ ) sin ( τ )dτ.
(7)

Уравнение свободных колебаний струны без начальных условий
Чтобы перейти к задаче без начальных условий, рассмотрим следующее уравнение:
∂2u 2 ∂2u ∂u
∂t2 = a ∂x2 − α ∂t ,
(8)
где a > 0, 0 < x < l и t > −∞, с граничными условиями:
u(0, t) = 0,
u(l, t) = A cos ωt.
(9)
∂t
Слагаемое α∂u имеет смысл трения.

Уравнение свободных колебаний струны без начальных условий
Решение u(x, t) выглядят следующим образом:
u(x, t) = X1(x) cos ωt − X2(x) sin ωt,
где X1(x), X2(x) находятся из следующего выражения:
(10)
A
sin kx = X1(x) + iX2(x),
sin kl
2
ω2
ω
k = − iαa . a2 2
(11)
Перейдем теперь к пределу при α → 0:
u˜(x, t) = lim u(x, t) = A
α→0
sin k˜x
˜
sin kl
cos ωt.
(12)
a
где k˜ = ω .

Уравнение свободных колебаний струны без начальных условий
Из этого следует, что u˜ является решением уравнения:
∂2u 2 ∂2u
∂t2 = a ∂x2 ,
(13)
при граничных условиях:
u(0, t) = 0,
u(l, t) = A cos ωt.
(14)
Но решение уравнения при α = 0 не всегда существует. Его нет при
πn
ω = ωn = l a.
С физической точки зрения, при таком значение ω наступает резонанс.

Пример промежуточной асимптотики
Сравним решения задачи без начальных условий и задачи с начальными условиями для уравнения
∂ ∂2u(x, t)
∂x2
µt
+ e cos σx, (15)
a u(x, t) =
∂t
где x ∈ R, µ ≥ 0.

Пример промежуточной асимптотики
В случае задачи без начальных условий, решение имеет вид
u(x, t) =
eµt cos σx aµ + σ2 .
(16)
В случае задачи с начальными условиями
u(x, 0) = 0,
решение имеет вид
u+(x, t) =
σ2
eµt − e−t a
aµ + σ2
cos σx.
(17)

Пример промежуточной асимптотики
Решение u(x, t) называется промежуточной асимптотикой решения u+(x, t), если выполняется соотношение
lim ||u(x, t) − u+(x, t)||µ = 0,
t→+∞
(18)
где
||f (t)||µ = sup ||e−µtf (t)||, µ ≥ 0.
t∈R