Сопротивление материалов. Растяжение, сжатие, кручение презентация

"Японские" хайку
Ползет червяк по тонкой ветке сакуры, Сломалась ветка - слишком тонковата - Не знал несчастный сопромата.

Растяжение и сжатие
Растяжением или сжатием называется
такой вид деформации, при котором в
любом поперечном сечении бруса
возникает только продольная сила.

Не все аксиомы и допущения теоретической механики справедливы в сопротивлении материалов.
Для деформируемого тела перенос сил по линиям их действия н е д о п у с т и м !!!
С точки зрения сопротивления материалов все три схемы резко различны
Так в первом случае стержень растянут, во втором он не нагружен, а в третьем – сжат.

Брусья с прямолинейной осью ( прямые брусья), работающие на растяжение или сжатие, часто называют стержнями.
Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль которого действуют внешние силы , , .

l₃ l₂ l₁
Части бруса постоянного сечения, заключенные между поперечными плоскостями, в которых приложены внешние силы будем называть у ч а с т к а м и .
1-й участок
2-й участок
3-й участок
Границей грузового участка является сечение стержня, в котором приложен сосредоточенный внешний силовой фактор (сосредоточенная сила или пара сил) или находится начало (конец) внешнего распределенного силового фактора.

Определение внутренних продольных сил в поперечных сечениях.
= 60кН,
= 20кН
= 40кН,
l₁= 4 м, l₂= 2 м, l₃ = 2 м
l₃ l₂ l₁

Метод сечений заключается в том, что тело
мысленно разрезается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие до разреза;
оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних приложенных к сечению сил.
Согласно закону Ньютона внутренние силы действующие в сечении оставшейся и отброшенной части тела, равны по модулю, но противоположны по направлению.
Статический эквивалент внутренних сил, действую-щим внешним силам называют внутренними силовыми факторами, действующими в сечении бруса.

Одну из составляющих N ,главного вектора приложенного в центре сечения, называют продольной силой. Продольная сила есть равнодействующая внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении. Она равна алгебраической сумме внешних сил, расположенных по одну сторону сечения. В пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение.
Проводим сечения внутри грузовых участков
3 2 1
3 2 1
Применив метод сечений определим продольные силы , ,
l₃=2 l₂ =2 l₁=4

Проводим сечение на первом участке.
Во всех точках бруса будут действовать внутренние распределенные силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной из частей бруса (правой от сечения).
Отбросим левую часть.
Ось направим по нормали от сечения наружу.
1
1

1
1
Составляем уравнение равновесия
=
0
-
0
=
=
откуда
= 40 кН
Так как имеет знак плюс, то направление силы совпадает с выбранным. Данная продольная сила направлена в сторону внешней нормали к сечению и вызывает деформацию растяжения.
Поскольку сечение 1-1 было выбрано в произвольном месте первого участка, а значение продольной силы не зависит от координаты сечения, следовательно, на всем грузовом участке сила 40 кН.
=

Проводим сечение 2-2 в произвольном месте второго участка.
Отбросим левую часть.
Ось направим по нормали от сечения наружу.
2
2

2
2
Составляем уравнение равновесия
0
=
-
+
=
0
откуда
=
-
=
40-60= - 20 кН
Значение из уравнения равновесия получилось со знаком минус.
Значит истинное направление силы противоположно выбранному
направлению
Данная сила вызывает деформацию сжатия.

Проводим сечение 3-3 в произвольном месте третьего участка.
Отбросим левую часть.
Ось направим по нормали от сечения наружу.
3
3

3
3
Составляем уравнение равновесия
0
=
-
+
=
0
откуда
=
-
=
- 20 – 60 + 40 = - 40 кН
Значение из уравнения равновесия получилось со знаком минус.
Значит истинное направление силы противоположно выбранному
направлению
+
-
+

3
3
Данная сила вызывает деформацию сжатия.

В пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение.
Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и напряжений строят графики, называемые эпюрами.
Для построения эпюры продольных сил под рисунком бруса проводим ось или базу эпюры, параллельную оси бруса, и линиями ограничиваем его участки.
Величины продольных сил в произвольном масштабе откладываем перпендикулярно оси эпюры, причем положи-тельные значения (растяжение) откладываются вверх, а отрицательные (сжатие) – вниз по оси.
Линия штриховки в выбранном масштабе (ордината графика) дает значение продольной силы в соответствующем сечении бруса. В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются скачкообразные изменения, причем величина «скачка» равна модулю приложенной в сечении бруса внешней сосредоточенной силы.

-
1-й участок
2-й участок
3-й участок
40
20
40
-
-
+
, кН
l₃=2 l₂ =2 l₁=4

Кручение
Понятие о кручении круглого цилиндра.
Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса (стержня) возникает только крутящий момент.
Деформации кручения возникают, если к прямому стержню в плоскостях, перпендикулярных оси, приложить пары сил.
Моменты этих пар называют в р а щ а ю щ и м и .
Обычно на кручение работают валы, имеющие круглое или кольцевое сечение. Если рассмотреть в качестве примера прямой круговой цилиндрический брус, к которому приложена пара сил, действующая в плоскости , перпендикулярной оси, то брус подвергнется деформации кручения.
При этом ось цилиндра, называемая осью кручения, останется
прямолинейной, а образующие цилиндра обратятся в винтовые линии.
Так как в поперечных сечениях нет продольных сил, то расстояния между
сечениями не изменятся.

Эпюры крутящих моментов.
Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси стержня строят эпюры крутящих моментов.
Равномерно вращающийся вал как и неподвижный стержень находится в равновесии. При этом внутренние силы, возникающие в поперечном сечении, должны уравновешивать внешние моменты, действующие на рассматриваемую
часть стержня.
Следовательно, крутящий момент в любом поперечном сечении
численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к стержню справа или слева от сечения.
Эпюры крутящих моментов дают возможность определить опасное сечение.
Если стержень имеет постоянное поперечное сечение, то
опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.
Крутящий момент в сечениях бруса определяется с помощью метода сечений.

Рассмотрим прямолинейный стержень, нагруженный внешними парами сил,
лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси стержня.
l₁
l₂
l₃
M₁
M₂
M₃
M₄
1-й участок
2-й участок
3-й участок
l₁= 2 м, l₂= 2 м, l₃ = 4 м
M₁
= 20 кН•м,
M₂
= 40 кН•м,
M₃
= 80 кН•м,
M₄
= 20 кН•м,

Чтобы определить крутящие моменты в поперечных сечениях стержня необходимо заменить пары сил векторами их моментов.
Как известно, вектор момента пары сил перпендикулярен плоскости
действия пары сил и направлен в ту сторону, откуда вращение пары кажется происходящим против хода часовой стрелки.
Поскольку скручивающие пары сил расположены в плоскостях,
перпендикулярных оси стержня, следовательно, векторы моментов
этих пар будут направлены по оси стержня.
Покажем вектора моментов пар сил.

l₁ =2
l₂ =2
l₃=4
M₁=20
M₂=40
M₃=80
M₄ =20
1-й участок
2-й участок
3-й участок
Вектор момента пары сил

l₁
l₂
l₃
M₁
M₂
M₃
M₄
1-й участок
2-й участок
3-й участок
Вектор момента пары сил

l₁
l₂
l₃
M₁
M₂
M₃
M₄
1-й участок
2-й участок
3-й участок
Вектор момента пары сил

l₁
l₂
l₃
M₁
M₂
M₃
M₄
1-й участок
2-й участок
3-й участок
Вектор момента пары сил

Определим крутящие моменты в каждом сечении.
Укажем первое сечение.
1
1

Ось направим по нормали от сечения наружу. Вектор в положительном
направлении оси .
Составляем уравнение равновесия для рассматриваемой части стержня
0
0
=
- = , откуда = 20 кН•м
Поскольку величина не зависит от координаты сечения 1-1,
то на первом участке крутящий момент постоянен и будет равен 20 кН•м
1
1

Укажем второе сечение.
2
2

l₁
2
2
Ось направим по нормали от сечения наружу. Вектор в положительном
направлении оси .
Составляем уравнение равновесия для рассматриваемой части стержня
0
=
- - = 0 , откуда = +
= 20 + 40 = 60 кН•м

Укажем третье сечение.
3
3

3
Ось направим по нормали от сечения наружу. Вектор в положительном
направлении оси .
Составляем уравнение равновесия для рассматриваемой части стержня
=
0
+ - - = , откуда = + -
0
= 20 + 40 – 80 = - 20 кН•м
l₁
l₂
3
Истинное направление момента противоположно выбранному направлению

3
l₁
l₂
По результатам расчетов строим эпюру T(х)
l₃
20
60
20
T(кН•м)
M₄ =20
M₃=80
M₂=40
M₁=20
20