Аналитическое моделирование презентация

Многоканальная экспоненциальная СМО без накопителя (M/M/N/0)
Поступающие в систему заявки образуют простейший поток с интенсивностью λ .
Длительность обслуживания заявок в любом приборе распределена по экспоненциальному закону с интенсивностью μ = 1/ b , где b – средняя длительность обслуживания.
Перед приборами не предусмотрены места для ожидания заявок, то есть в системе отсутствует накопитель.
Дисциплина буферизации – с отказами: заявка, поступившая в систему и заставшая все приборы занятыми обслуживанием других заявок, теряется.
Дисциплина обслуживания – в естественном порядке: заявка, поступившая в систему принимается на обслуживание, если есть хотя бы один свободный прибор. Если заявка застала свободными несколько приборов, то она направляется в один из них случайным образом.
Замечание: в СМО с отказами всегда будет существовать установившийся режим, поскольку даже при больших значениях нагрузки ( y >> 1) число заявок в системе не может вырасти до бесконечности (с ростом нагрузки увеличивается доля заявок, получающих отказ в обслуживании).

В качестве параметра, описывающего состояние случайного процесса, будем рассматривать количество заявок k, находящихся в СМО. При этом система в любой момент времени может находиться в одном из (N +1) состояний:
S0 : k = 0 – в системе нет ни одной заявки;
S1: k = 1 – в системе находится 1 заявка (один прибор работает, остальные – простаивают);
S2: k = 2 – в системе находятся 2 заявки (два прибора работают, остальные – простаивают);
…
SN: k =N в системе находятся N заявок (все приборы работают).
В один и тот же момент времени в системе может произойти только одно из двух событий, которые приводят к изменению состояния случайного процесса.
1. Поступление заявки в систему с интенсивностью λ . При этом:
если случайный процесс находится в состоянии Sk, причем k < N , то произойдет переход в состояние Sk+1, причем интенсивность перехода равна интенсивности поступления λ ;
если случайный процесс находится в состоянии SN, то состояние случайного процесса не изменится, что будет соответствовать отказу в обслуживании поступившей заявки.
2. Завершение обслуживания заявки в одном из приборов с интенсивностью μ . Это событие может наступить только в том случае, если в системе на обслуживании находится хотя бы одна заявка. Если в СМО на обслуживании находится k =1,2,..., N заявок (случайный процесс находится в состоянии Sk), то интенсивность перехода в состояние Sk-1 будет равна kμ .

Система уравнений для определения стационарных вероятностей:
Финальные вероятности (формулы Эрланга):
Замечание. Формулы Эрланга остаются справедливыми и тогда, когда поток заявок — простейший, а время обслуживания имеет произвольное распределение с математическим ожиданием 1 /μ.

Характеристики СМО M/M/N/0
нагрузка y =λ /μ = λb ;
загрузка учитывающая долю k/N работающих приборов;
коэффициент простоя системы
вероятность потери заявок, вероятность отказа в обслуживании πп =
вероятность обслуживания заявки (относительная пропускная способность СМО): π0 =1- πп
производительность системы λ' =λ(1- πп );
интенсивность потока потерянных заявок λ'' =λπп ;
среднее число заявок в системе (среднее число работающих приборов):
или m= λ' /μ=yπ0 ;
(среднее число простаивающих приборов: Nˆ = N –m);
среднее время пребывания заявки в системе: u=b

Многоканальная экспоненциальная СМО с накопителем ограниченной емкости (M/M/n/r)
Поступающие в систему заявки образуют простейший поток с интенсивностью λ .
Длительность обслуживания заявок в любом приборе распределена по экспоненциальному закону с интенсивностью μ = 1/ b , где b – средняя длительность обслуживания.
Все n приборов – идентичны, и любая заявка может быть обслужена любым прибором;
В системе имеется накопитель ёмкости r.
Дисциплина буферизации – с потерями: заявка, поступившая в систему и заставшая накопитель заполненным, теряется.
Дисциплина обслуживания – в порядке поступления по правилу «первым пришел – первым обслужен» (FIFO).
Замечание: в СМО с накопителем ограниченной ёмкости всегда существует установившийся режим, поскольку длина очереди не будет расти до бесконечности даже при больших значениях нагрузки.

S0 : в системе нет ни одной заявки;
S1: в системе находится 1 заявка (занят 1 канал);
S2: в системе находятся 2 заявки (заняты 2 канала);
…
Sj: в системе находятся j≤ n заявок (заняты j каналов);
……
Sn+r: в системе находятся n+r заявок (заняты n каналов и r заявок – в накопителе).
Финальные вероятности существуют для всех λ и μ:
При χ=y/n≠1
При χ=y/n=1

Характеристики СМО M/M/n/r
нагрузка: y=λ /μ= λb;
вероятность потери заявок: πп = pr+n ;
загрузка: ρ= y(1- πп )/n;
коэффициент простоя системы: η =1-ρ ;
производительность системы λ' =λ(1- πп );
интенсивность потока потерянных заявок λ'' =λπп ;
среднее число занятых каналов:
среднее число заявок в очереди:
среднее число заявок в системе: m=l+k;
среднее время ожидания заявок в очереди w = l /λ' ;
среднее время пребывания заявок в системе u = m/λ' = w + b

Многоканальная простейшая СМО с неограниченной очередью (M/M/n/∞)
Поступающие в систему заявки образуют простейший поток с интенсивностью λ .
Длительность обслуживания заявок в любом приборе распределена по экспоненциальному закону с интенсивностью μ = 1/ b , где b – средняя длительность обслуживания.
Все n приборов – идентичны, и любая заявка может быть обслужена любым прибором;
В системе имеется накопитель неограниченной ёмкости: r = ∞, то есть любая заявка, поступившая в систему, найдет место для ожидания в очереди и не будет потеряна.
Дисциплина буферизации отсутствует, поскольку накопитель имеет неограниченную ёмкость.
Дисциплина обслуживания – в порядке поступления по правилу «первым пришел – первым обслужен» (FIFO).
В системе отсутствуют перегрузки, то есть загрузка системы ρ = λb/n<1.

S0 : в системе нет ни одной заявки;
S1: в системе находится 1 заявка (занят 1 канал);
S2: в системе находятся 2 заявки (заняты 2 канала);
…
Sj: в системе находятся j≤ n заявок (заняты j каналов);
……
Sn+r: в системе находятся n+r заявок (заняты n каналов и r заявок – в накопителе).
……
Финальные вероятности существуют только при ρ =y/n < 1:

Характеристики СМО M/M/n/∞
нагрузка y =λ /μ = λb ;
загрузка ρ = y/n = λb/n;
коэффициент простоя системы η = 1- ρ;
вероятность потери заявок πп = 0 ;
производительность системы при отсутствии потерь совпадает с интенсивностью поступления заявок в систему: λ' =λ ;
интенсивность потерянных заявок λ'' = 0 ;
среднее время ожидания заявок в очереди: , где – вероятность того, что все n приборов заняты обслуживанием заявок
среднее время пребывания заявок в системе: u = w + b ;
среднее число заявок в очереди: l = λ'w или
среднее число заявок в системе: m = λ' u .

Выводы (M/M/n)
Зависимость среднего времени ожидания w и среднего времени пребывания u заявок в системе от числа обслуживающих приборов K: с увеличением числа обслуживающих приборов времена ожидания и пребывания заявок уменьшаются, при этом в пределе при K → ∞ время ожидания стремится к нулю, а время пребывания достигает своего наименьшего значения, равного длительности обслуживания заявок.
2. Среднее время ожидания заявок, как и для одноканальных систем, существенно зависит от нагрузки y (загрузки ρ ) системы. При y ≥ K (ρ →1) время ожидания заявок возрастает неограниченно: w → ∞, то есть заявки могут ожидать обслуживания сколь угодно долго.
Пример. Рассматривается простейшая СМО с практически неограниченным числом каналов (n→∞). На вход СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ; интенсивность потока обслуживаний (для одного канала) равна μ. Найти финальные вероятности состояний СМО и среднее число занятых каналов k.

Зависимость среднего времени ожидания w и среднего времени пребывания u заявок в системе от числа обслуживающих приборов K при условии, что при увеличении числа обслуживающих приборов K их суммарная производительность (скорость работы) остается постоянной, т.е. VΣ = KVK = const , где VK –производительность одного прибора при наличии в системе K обслуживающих приборов. Среднее время ожидания w заявок, как и в предыдущем случае, уменьшается с увеличением числа приборов, однако время пребывания u заявок в системе увеличивается. Последнее объясняется тем, что с увеличением числа приборов K производительность каждого из них для сохранения суммарной производительности системы
уменьшается пропорционально K и, следовательно, линейно увеличивается длительность обслуживания заявки в приборе. При этом скорость увеличения длительности обслуживания больше скорости уменьшения времени ожидания, что в сумме приводит к увеличению времени пребывания заявок в системе. В пределе при K → ∞ время пребывания заявок асимптотически стремится к длительности обслуживания заявок.
Таким образом, при проектировании систем обслуживания следует иметь в виду, что с точки зрения задержек (времени пребывания заявок) более эффективной является одноканальная система, чем многоканальная, при равенстве суммарной производительности. Основным достоинством многоканальной системы является более высокая надёжность, проявляющаяся в том, что при выходе из строя одного или даже нескольких обслуживающих приборов система продолжает функционировать, хотя и с меньшей эффективностью, что заключается в увеличении времени пребывания заявок в системе.

Задачи.
Одноканальная СМО с неограниченной очередью — ЭВМ, на которую поступают заявки (требования на расчеты). Поток заявок — простейший со средним интервалом между заявками t = 10 мин. Время обслуживания распределено по закону Эрланга 3-го порядка с математическим ожиданием b = 8 мин. Определить среднее число m заявок в СМО и среднее число l заявок в очереди, а также средние времена пребывания заявки в системе u и в очереди w.
(формула Поллачека- Хинчина ) Ответ: vb= 0,57735, w= 21.33, l=2.133, u=29.33, m=2.933
Условия предыдущей задачи изменены: поток заявок уже не простейший, а пальмовский, причем интервал между событиями в потоке распределен по обобщенному закону Эрланга 2-го порядка с параметрами λ1 = 1/2; λ2 = 1/8. Найти приближенно характеристики эффективности СМО.
(формула Поллачека- Хинчина + ).
Ответ: va=0,82, vb= 0,57735, w=16,14 ……