Численные методы. Лекция 3. Методы решения нелинейных уравнений презентация

Метод хорд (линейное интерполирование).
Пусть дано уравнение f(x)=0, где f(x) - непрерывная функция, имеющая в интервале (a, b) производные первого и второго порядка. Корень отделен и находится на отрезке [a, b], т.е. f(a)⋅ f(b)<0.
Идея метода заключается в том, что на достаточно малом промежутке [a, b] дуга кривой y=f(x) заменяется стягивающей ее хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Оx.

f′ (x)⋅ f″ (x) > 0

f′ (x)⋅ f″ (x) > 0

Вывод формулы метода хорд
Уравнение хорды A0B:
из уравнения прямой, проходящей через две точки:
Найдем значение x=x1 для которого y=0.
или (1)
Это формула метода хорд для первого шага.

Вывод формулы метода хорд
Сейчас корень внутри отрезка [x1,b].
Далее: (2)
Здесь В – неподвижный конец хорды.

случай, когда f′ (x)⋅ f″ (x) < 0
f″>0

f′ (x)⋅ f″ (x) < 0

Вывод формулы метода хорд
Уравнение хорды AB0:
Найдем точку x1 при y=0.
(3)
Итак до (n+1)-го шага:
(4)
Здесь А-неподвижный конец хорды.

Правило выбора формул:
неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.
Оценка погрешности метода:

Пример:
Методом хорд уточнить до ε=0,001 меньший корень уравнения:
Корни отделены и меньший содержится на отрезке

Решение:
Процесс приближения к корню следует продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие:

продолжение решения:
Определим знак второй производной:
Значит, за неподвижный конец отрезка нужно принять
Тогда вычисления ведём по формулам (3), (4), где и

продолжение решения:
Если записать (4) в виде:
,
то сразу же можно будет получить разность между последними приближениями и проверять выполнение неравенства

продолжение решения:
Условие выполнено.
Ответ:

Метод Ньютона (метод касательных).
Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b], причем f′ (x) и f″ (x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a, b].
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y=f(x) заменяется касательной к этой кривой.

случай, когда . f(a)⋅ f(b)<0 и f′ (x)⋅ f″ (x)>0

Уравнение касательной в точке B0:
полагая y=0, x=x1 получим:
продолжая этот процесс, получаем последовательность {xn}, определённую с помощью рекуррентной формулы:
(1)

случай, когда . f(a)⋅ f(b)<0 а f′ (x)⋅ f″ (x)<0

Уравнение касательной в точке A0:
, при y=0, x=x1
,
И наконец, формула метода Ньютона:

Теорема о сходимости метода Ньютона:
Пусть x=t - принадлежит отрезку [a, b] и является корнем уравнения f(x)=0, а функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема на данном отрезке.
Тогда найдется такая δ-окрестность точки x=t, что при любом выборе начального приближения x0 на отрезке
[t-δ, t+δ]∈ [a, b]

Теорема о сходимости метода Ньютона:
существует бесконечная итерационная последовательность (1) и эта после-довательность сходится к корню t.
Достаточное условие сходимости метода Ньютона:
⏐ f(x)⋅ f″ (x) ⏐<[ f′ (x)]2 .

Правило выбора начального приближения:
за исходную точку (нулевое приближение) следует выбирать тот конец отрезка [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.

Критерий окончания итерационного процесса:
при заданной точности ε>0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполнен-ным неравенство:
⏐xn – xn-1⏐<ε.
Оценка погрешности метода:
где

ПРИМЕР 1:
Найти методом касательных приближенное значение корня уравнения
f(x) = x - cosx = 0
на интервале [0,5;1].

Решение:
Рекуррентная формула метода касательных принимает в данном случае вид:

продолжение решения:
Выберем в качестве нулевого приближения x0=0,5 и подсчитаем следующие приближения. Результаты вычислений приведены в таблице:
После двух шагов мы достигли точности 10-4.

ПРИМЕР 2:
Рассмотрим вычисление как задачу решения уравнения: x2 - a = 0 в области x>0. Написать для вычисления корня уравнения итерационную последова-тельность по методу касательных. Вычислить с её помощью .

Решение:
Рекуррентная формула метода каса-тельных для уравнения при-нимает вид:
(*)

продолжение решения:
Перейдём к вычислению .
Вспомним, что .
Выбирая x0=2, делаем несколько итераций по формуле (*):
x0=2; x1=1,5;

продолжение решения:
Третий шаг определяет с погреш-ностью:

Лабораторная работа: Метод бисекции.
Текст программы:

Лабораторная работа: Метод бисекции.

Метод Ньютона: