Слайд 2
![§ 1. Понятие функции двух переменных.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-1.jpg)
§ 1. Понятие функции двух переменных.
Слайд 3
![Пусть x, y – две независимые друг от друга переменные.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-2.jpg)
Пусть x, y – две независимые друг от друга переменные. Графически
пару независимых переменных (x, y) можно представить как точку M(x, y) на плоскости xOy. Пусть D – некоторое множество точек M(x, y).
Слайд 4
![Опр. Если каждой точке M(x, y) из множества D по](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-3.jpg)
Опр. Если каждой точке M(x, y) из множества D по некоторому закону
f ставится в соответ-ствие вполне определенное действительное число z, то говорят, что z есть функция двух переменных x и y и пишут
z = f(x, y) или z = f(M),
где M = M(x, y) – точка плоскости.
Слайд 5
![Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в трехмерном пространстве.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-4.jpg)
Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в трехмерном пространстве.
Слайд 6
![Примеры: График функции (эллиптический параболоид)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-5.jpg)
Примеры:
График функции
(эллиптический параболоид)
Слайд 7
![график функции (гиперболический параболоид)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-6.jpg)
график функции
(гиперболический параболоид)
Слайд 8
![График функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-7.jpg)
Слайд 9
![График функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-8.jpg)
Слайд 10
![Опр. Областью определения функции z = f(x, y) называется множество](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-9.jpg)
Опр. Областью определения функции z = f(x, y) называется множество D точек M(x, y), в
которых функция z = f(x, y) определена и может быть вычислена. Все значения, которые принимает функция z = f(x, y) (в области ее определения), образуют множество значений функции.
Слайд 11
![Примеры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-10.jpg)
Слайд 12
![Графическое изображение области определения функции. Пример. Построим область определения функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-11.jpg)
Графическое изображение области определения функции.
Пример. Построим область определения функции
Слайд 13
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-12.jpg)
Слайд 14
![Линии уровня Опр. Множество точек плоскости таких, что функция f(x,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-13.jpg)
Линии уровня
Опр. Множество точек плоскости таких, что функция f(x, y) принимает в
них одно и то же значение, f(x, y) = c, называется линией уровня.
Слайд 15
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-14.jpg)
Слайд 16
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-15.jpg)
Слайд 17
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-16.jpg)
Слайд 18
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-17.jpg)
Слайд 19
![Построение графика функции двух переменных Рассмотрим пример построения графика функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-18.jpg)
Построение графика функции двух переменных
Рассмотрим пример построения графика функции
Слайд 20
![Зафиксируем какое-нибудь значение этой функции, например, z = 75. Тем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-19.jpg)
Зафиксируем какое-нибудь значение этой функции, например, z = 75. Тем самым мы определили
в пространстве плоскость z = 75. Находим линию уровня при z = 75:
100 – x2 – y2 = 75, откуда x2 + y2 = 25 – уравнение окружности.
Слайд 21
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-20.jpg)
Слайд 22
![Находя множество линий уровня, строим весь график.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-21.jpg)
Находя множество линий уровня, строим весь график.
Слайд 23
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-22.jpg)
Слайд 24
![§ 2. Понятие функции трех и более переменных. Всякая упорядоченная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-23.jpg)
§ 2. Понятие функции трех и более переменных.
Всякая упорядоченная совокупность действительных
чисел (x1, x2, …, xn) называется точкой n–мерного пространства Rn. Пусть D – некоторое мно-жество точек пространства Rn.
Слайд 25
![Опр. Если каждой точке M(x1, x2, …, xn) из области](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-24.jpg)
Опр. Если каждой точке M(x1, x2, …, xn) из области D по некоторому закону
f ставится в сответствие вполне определенное число u, то говорят, что u есть функция n переменных и пишут
u = f(x1, x2, …, xn) или u = f(M)
где M = M(x1, x2, …, xn) – точка n–мерного пространства.
Слайд 26
![Примеры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-25.jpg)
Слайд 27
![Опр. Множество точек пространства, в которых функция трех переменных f(x,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-26.jpg)
Опр. Множество точек пространства, в которых функция трех переменных f(x, y, z) принимает
одно и то же значение, f(x, y, z) = c, называется поверхностью уровня.
Слайд 28
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-27.jpg)
Слайд 29
![§ 3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-28.jpg)
§ 3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Слайд 30
![Опр. Число A называется пределом функции z = f(x, y)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-29.jpg)
Опр. Число A называется пределом функции z = f(x, y) в точке M0(x0, y0), если
для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε), что при 0 < |x – x0| < δ и 0 < |y – y0| < δ выполняется неравенство |f(x,y) – A| < ε. При этом пишут
Слайд 31
![Опр. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-30.jpg)
Опр. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке M0(x0, y0), если функция z = f(x, y)
определена в этой точке и существует
Слайд 32
![Аналогичные определения имеют место и для функции u = f(x1,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-31.jpg)
Аналогичные определения имеют место и для функции u = f(x1, x2, …, xn) в случае произвольного
числа n переменных.
Слайд 33
![Если в какой – либо точке условие непрерывности не выполняется,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-32.jpg)
Если в какой – либо точке условие непрерывности не выполняется, то
эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
Слайд 34
![1. Функция z = f(x, y) не определена в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-33.jpg)
1. Функция z = f(x, y) не определена в точке M0(x0, y0).
2. Не существует предел
3. Этот предел существует, но он не равен f(x0, y0).
Слайд 35
![§ 4. Частные производные функции нескольких переменных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-34.jpg)
§ 4. Частные производные функции нескольких переменных
Слайд 36
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-35.jpg)
Слайд 37
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-36.jpg)
Слайд 38
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-37.jpg)
Слайд 39
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-38.jpg)
Слайд 40
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-39.jpg)
Слайд 41
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-40.jpg)
Слайд 42
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-41.jpg)
Слайд 43
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-42.jpg)
Слайд 44
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-43.jpg)
Слайд 45
![Пусть z = f(x, y) – функция двух переменных. Дадим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-44.jpg)
Пусть z = f(x, y) – функция двух переменных. Дадим независимой переменной x приращение
Δx, оставляя при этом переменную y неизменной. Тогда функция z получит приращение
которое называется частным приращением z по x.
Слайд 46
![Аналогично, если независимой переменной y дадим приращение Δy, оставляя при](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-45.jpg)
Аналогично, если независимой переменной y дадим приращение Δy, оставляя при этом
неизменной переменную x, то функция z получит приращение
называемое частным приращением z по y.
Слайд 47
![Опр. Частной производной по x от функции z называется предел](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-46.jpg)
Опр. Частной производной по x от функции z называется предел отношения
частного приращения Δxz к приращению Δx при стремлении Δx к нулю.
Эта производная обозначается одним из символов
Слайд 48
![Таким образом, по определению,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-47.jpg)
Таким образом, по определению,
Слайд 49
![Аналогично определяется частная производная от функ-ции z = f(x, y)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-48.jpg)
Аналогично определяется частная производная от функ-ции z = f(x, y) по переменной y :
Обозначается
одним из символов
Слайд 50
![В общем случае частной производной первого порядка функции u =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-49.jpg)
В общем случае частной производной первого порядка функции u = f(x1, x2, …, xn) по переменной
xk называется предел
Слайд 51
![Т.к. при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, считают](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-50.jpg)
Т.к. при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, считают постоянными,
то для частных производных сохранаяются все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.
Слайд 52
![Пример. Найти частные производные функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-51.jpg)
Пример. Найти частные производные функции
Слайд 53
![Решение. Полагая y = const, находим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-52.jpg)
Решение. Полагая y = const, находим
Слайд 54
![Полагая x = const, находим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-53.jpg)
Полагая x = const, находим
Слайд 55
![Пример. Найти значения частных производных функции в точке M(1, –1, 0).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-54.jpg)
Пример. Найти значения частных производных функции
в точке M(1, –1, 0).
Слайд 56
![Решение. Полагая y = const, z = const, находим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-55.jpg)
Решение. Полагая y = const, z = const, находим
Слайд 57
![Аналогично находим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-56.jpg)
Слайд 58
![Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-57.jpg)
Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные
Слайд 59
![Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-58.jpg)
Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и
y. Будем называть
и частными производными 1-го порядка.
Слайд 60
![Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-59.jpg)
Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го
порядка.
Для функции z = f(x, y) двух переменных можно найти четыре частные производные 2-го порядка, которые обозна-чаются следующим обр-м:
Слайд 61
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-60.jpg)
Слайд 62
![В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-61.jpg)
В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для
них справедлива теорема:
Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой точке M(x, y), то они равны, т. е.
Слайд 63
![Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-62.jpg)
Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)–го
порядка.
Их обозначают
и т. д.
Слайд 64
![Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-63.jpg)
Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными.
Слайд 65
![Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-64.jpg)
Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции
Слайд 66
![Решение. Последовательно находим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-65.jpg)
Решение. Последовательно находим
Слайд 67
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-66.jpg)
Слайд 68
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-67.jpg)
Слайд 69
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-68.jpg)
Слайд 70
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-69.jpg)
Слайд 71
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/351237/slide-70.jpg)