Выпуклый анализ. Выпуклые функции.. Лекция 12 презентация

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
3.4. Дифференцируемость выпуклой функции по всем возможным
направлениям.
3.3. Непрерывность выпуклой функции.

3.3. Непрерывность выпуклой функции.
оказывается столь сильным,
Теорема 6.
выпукла.
Доказательство.
Сначала предположим, что
с центром в нуле
Неравенство (1.1),

Из неравенства (1)
следует
С другой стороны

Общий случай сводится к уже рассмотренному
определенной формулой
Тогда по доказанному она непрерывна в нуле.
Непрерывной в нуле будет и функция
Эта функция выпукла и для нее выполнено
как сумма непрерывной функции и постоянной.
Теорема доказана.

Для граничных точек доказанная теорема неверна.
Пример 4.
но терпит разрыв в нуле.
Покажем, что эта функция выпукла.
Вычисляем

3.4. Дифференцируемость выпуклой функции по всем возможным направлениям.
Определение 3.
такое, что
Пример 5.
Пример 6.
Пусть
Данное включение означает, что

Пример 7.
имеется хотя бы одно возможное направление.
и содержит не менее двух точек.
Определение 4.
будем называть величину
если этот предел существует.
и дифференцируема в ней,

в которой она имеет производные по всем направлениям.
Пример 8.
Пусть
Однако, обратное неверно.
Представим произвольное направление в виде
и установим существование предела
для любого направления

Отсюда
выводим
Таким образом, указанный предел существует.

Тогда
Теорема 7.
выпукла.
Доказательство.
Имеет место включение
С другой стороны

Тогда

Имеет место равенство
Тогда

Упражнение 1.
Решение.
Функция нормы выпукла и конечна.