Дифференциальные уравнения презентация

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Основные понятия
2. Дифференциальные уравнения первого
порядка. Задача Коши
3. Дифференциальные уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными
4. Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка
5. Дифференциальные уравнения
второго порядка

1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов:
Учебное пособие. – СПб: Питер, 2016.
2. Ахтямов М.А. Математика для социологов и экономистов.
– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
3. Попов А.М. Сотников В. Н. Высшая математика для
экономистов: учебник и практикум для прикладного
бакалавриата. – М.: Изд. "Юрайт", 2014.
4. Высшая математика для экономического бакалавриата:
Учебник и практикум / Под ред. проф. Кремера Н.Ш. – М.: Изд. "Юрайт", 2016.
Литература

Основные понятия.
ПЕРВЫЙ ВОПРОС

Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию некоторой переменной, эту пере-менную и производные различных порядков данной функции:
где G – некоторая функция от n + 2 переменных (n ≥ 1).
Определение.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то диф-ференциальные уравнения называются обыкновенными, а если от нескольких – уравнениями в частных производных.
Пример.
Задачу нахождения первообразной F(x) для заданной функции f (x) можно рассматривать как задачу о нахождении функции F(x), удовлетворяющую уравнению F ´(x) = f (x).
Термин «дифференциальные уравнения» ввел Г.В. Лейбниц.
И.Ньютон при создании исчис-ления «флюксий» и «флюент» ставил две задачи:
1. По данному соотношению ме-жду флюентами определить со-отношение между флюксиями;
2. По данному уравнению, содер-жащему флюксии, найти соотно-шение между флюентами.
«Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa»
«Полезно решать дифференциальные уравнения».
И.Ньютон

Замечание.
Решение дифференциального уравнения неоднозначно.
Дифференциальное уравнение задает семейство инте-гральных кривых на плоскости.

Определение.
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется такое его решение
которое является функцией переменной х и n произвольных независимых постоянных С1, С2, …, Сn
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при конкретных числовых значениях этих постоянных.
Пример.
Решить уравнение
Решение.
– общее решение, – частное.

Дифференциальные уравнения
первого порядка. Задача Коши
ВТОРОЙ ВОПРОС

Геометрический смысл теоремы
Через каждую точку (x0, y0) множества Г проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения y´ = f (x, y).

Замечание.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения y′ = f (x, y), удовлетворяющего начальному условию y0 = y (x0), называется задачей Коши.
Таким образом рассмотренная теорема устанавливает условия существования и единственности решения задачи Коши.
Определение.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка на открытом множестве Г координатной плоскости Оxy называется функция y = φ(x, C ), зависящая от x и произвольной постоянной С, если:
– она является решением дифференциального уравнения пер-вого порядка при любом значении постоянной С ;
– при любых начальных условиях y0 = y (x0), (x0, y0 ) ∈ Г, сущест-вует единственное значение постоянной С = С0 такое, что функция y = φ(x, C0 ) удовлетворяет начальным условиям y0 = φ(x0, C0 ).
Определение.
Частным решением дифференциального функция y = φ(x, C0 ), которая получается из общего решения y = φ(x, C ) при опреде-ленном значении постоянной С = C0.
Определение.
Решение дифференциального уравнения первого порядка на открытом множестве Г координатной плоскости Оxy называется особым, если через каждую точку его интегральной кривой проходит, по крайней мере, еще одна интегральная кривая.

Дифференциальные уравнения
первого порядка с разделяющимися переменными
ТРЕТИЙ ВОПРОС

Определение.
Дифференциальное уравнение первого порядка y ′ = f (x, y) на-зывается неполным, если функция f явно зависит либо только от x, либо только от y.

Действительно или где z ≠ -2.
Выполняя почленное интегрирование равенства получаем
Поскольку
Тогда

Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка
ЧЕТВЕРТЫЙ ВОПРОС

Способ решения.
Решение y = y(x) уравнения может быть найдено в виде
у = u(x)∙v(x),
где v = v(х) – некоторое частное решение уравнения v' + f (x)v = 0,
u = u(х) – решение уравнения u'v = g(х).
Поскольку y' = u'v + v'u,
то u'v + v'u + f (х)uv = g(x) или u'v + u(v' + f (х)v) = g(x).
Определение.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:
y' + f (х)y = g(x),
где f (х), g(x) – некоторые непрерывные функции переменной х.
Если функция g(x) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным , в противном случае – неоднородным.
*

Способ решения.
Неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть решено методом вариации произвольной посто-янной, при котором сначала находят решение v однородного уравнения.
Это решение (как и любое общее решение дифференциального уравнения первого порядка) зависит от постоянной С (v = V(х, С )).
Предполагая затем, что С является функцией переменной x, находят эту функцию С = С(х) из условия, что y = V(х, С ) удовлет-воряет исходному уравнению.
Определение.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли, если оно имеет вид:
y ' + f (x)y = g(x)∙yn,
где n ≠ 0,п ≠ 1.
Это уравнение приводится к линейному с помощью подстановки z = у1-n.

Дифференциальные уравнения
второго порядка
ПЯТЫЙ ВОПРОС

Замечание.
В некоторых случаях решение дифференциального урав-нения второго порядка может быть сведено к последо-вательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка.
Другими словами – данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.

I этап.
Рассмотрим линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Теорема. Если ỹ1(x) и ỹ2(x) – линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка с постоян-ными коэффициентами, то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений:
y = С1 ỹ1(x) + С2 ỹ2(x).
Замечание.
Дифференциальному уравнению yיי + pуי + q y = 0 ставится в соответствие характеристическое уравнение:
λ2 + pλ + q = 0,
где λ – переменная.

Пример.

Замечание.
Обратите внимание на структуру полученного решения.
Первые два слагаемых — это общее решение однородного уравнения, соответствующего исходному дифференциальному уравнению.
Последнее слагаемое, как нетрудно убедиться, — частное решение исходного уравнения.

Второй способ.
Теорема.
Общее решение линейного неоднородного дифференциаль-ного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения.
При этом вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения, и задача сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.
Вариант 1.
Если f (x) = Pn(x) = a0 xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x + an – многочлен порядка n, то частное решение ищется в виде
ỹ (x)= Qn(x)xr,
где Qn(x) – некоторый многочлен порядка n, коэффициенты
которого подлежат определению;
r – число корней характеристического уравнения, равных 0.