Дифференциальные уравнения презентация

Определение 1: Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется уравнение вида
где, y = y(x) искомая функция.
Определение 2: Любая функция y=φ(x), которая обращает уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции – интегральной кривой.
Основные понятия

Определение 3: Если решение данного уравнения задано в неявном виде Ф(x,y)=0, то оно называется интегралом уравнения (1).
Определение 4: Функция y = (2), содержащая n независимых произвольных постоянных, называется общим решением уравнения (1), если она является его решением при любых значениях постоянных .
Определение 5: Если в выражении (2) константам придать некоторые определенные значения, то получим некоторые частные решения.

Таким образом, общее решение уравнения (1) представляет собой семество функций, которое имеет вид
y = (2).
Чтобы из этого семейства выделить какое-то конкретное решение нужно на функцию y = наложить некоторые ограничения, которые обычно задают в виде начальных условий:
(3)

Определение 6: Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение (4).
Определение 7: Если уравнение (4) удается привести к виду = f(x,y) (5), то оно называется разрешенным относительно производной, в противном случае – неразрешенным относительно производной.
Здесь функция f(x,y) определена на некотором множестве D
Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение: Общим решением дифференциального уравнения первого порядка = f(x,y) в области D, называется функция , обладающая следующими свойствами:
1) Она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной C, принадлежащих некоторому множеству.
2) Для любого начального условия y( )= такого,
что ,существует единственное значение C= , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

Определение: Всякое решение , получающееся из общего решения , при конкретном C= называется частным решением.
Определение задачи Коши: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию у( )= , называется задачей Коши.
Определение: Общее решение , построенное на плоскости графика, называется семейством интегральных кривых.

Однако встречаются дифференциальные уравнения, имеющие также решения, которые не получаются из общего ни при каких значениях C (в том числе и при ). Такие решения называются особыми. Графиком особого решения является интегральная кривая, которая в каждой своей точке имеет общую касательную с одной из интегральных кривых, определяемых общим решением. Такая кривая называется огибающей семейства интегральных кривых.

Определение: Дано дифференциальное уравнение F(x,y, )=0. Пусть его можно переписать в виде (5)
Если уравнение (5) можно привести к виду
= A(x)B(y) (6)
или к виду
(6.1), то это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Метод решения:
| : ≠0
| : ≠0
Интегрируя обе части,
получаем общий интеграл уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Метод Бернулли.

Определение: Дифференциальные уравнения первого порядка вида a(x)y’+ +b(x)y+c(x)=0,где a,b,c – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Определение: Если a(x)=1,то уравнение называется приведенным линейным уравнением первого порядка.

Определение: Если , то линейное уравнение называется неоднородным.
y’+p(x)y=f(x)
Определение: Если , то уравнение y'+p(x)y=0 называется однородным и является относительно y' и y уравнением с разделяющимися переменными.
Метод решения:

Решение методом Бернулли y ищем в виде произведения функции и , т.е.
Найдем одну функцию такую, чтобы
;
– любая, (≠0),так как
должно удовлетворять уравнению.
…,в уравнение

(так как v ≠0);
Уравнение с разделяющимися переменными:

Особых решений нет.
Уравнение с разделяющимися переменными.
Общее решение:

Определение: Дифференциальное уравнение первого порядка вида
называется уравнением Бернулли.
Метод решения: с помощью подстановки уравнение Бернулли сводится к неоднородному дифференциальному уравнению. Но проще решать данное уравнение методом Бернулли.
Уравнение Бернулли

Дано: уравнение первого порядка вида y’+p(x)*y=f(x)
Алгоритм решения.
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
. Найдем его решение. Это уравнение с разделяющимися переменными.
Метод вариации произвольной постоянной. Метод Лагранжа.

Варьируем произвольную постоянную.
Пусть . Найдем функцию из условия, что функция
является решением неоднородного дифференциального уравнения. Для этого поставим данную в функцию в неоднородное уравнение

+
Общее решение:

Определение: Функция f(x,y) называется однородной измерения m, если для любой .
Определение: Уравнение вида
называется однородным, если P и Q однородные функции одного измерения.
Однородные дифференциальные уравнения

Теорема 1: Однородные дифференциальные уравнения первого порядка сводится к уравнению первого порядка с разделёнными переменными c помощью подстановки
, где ( ).

Теорема 2: Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) является однородным тогда и только тогда, когда f(x,y) есть однородная функция нулевого измерения.

Теорема существования и единственности решения.
Особые решения.

Если в дифференциальном уравнении
функция непрерывна в некоторой области D плоскости Oxy и имеет в этой области ограниченную частную производную , то для любой точки в некотором интервале существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
Геометрически это означает, что через каждую точку M области D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения .
Теорема Коши.

Определение: Точки области D, в котором нарушается единственность решения задачи Коши, называется особыми точками дифференциального уравнения.
Определение: Решение (интегральная кривая) уравнения
, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением (особой интегральной кривой) этого уравнения.
Особое решение не может быть получено из общего, ни при каких значениях (включая ).

Графиком особого решения является огибающая семейства интегральных кривых, она находится путем исключения, если это возможно, параметра
из системы уравнений.
или
- общий интеграл
- общее решение дифференциального уравнения

Теорема существования и единственности решения задачи
Коши для дифференциальных уравнения высших порядков

Определение: .
Определение: Задачей Коши для
дифференциальных уравнений:
называется задача отыскания решения y=y(x), удовлетворяющего заданным начальным ????? условиям y(x0)=y0, y’(x0)=y0’,…,y(n-1)(x0)=y0(n-1).

Определение: Общим решением уравнения
называется такая функция , которая при любых допустимых значениях параметров , является решением дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями y(x0)=x0, y ‘(x0)=y0’,…, y(n-1)(x0)=y0(n-1) найдутся постоянные ?????
определяемые из системы уравнений.