Дифференцируемость функции презентация

Определение:
Дифференциальное исчисление
Дифференцируемость функции
где А – некоторое число; о(Δx) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Δx при
Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х0,
если её приращение в этой точке может быть представлено
в виде
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР

Теорема:
Дифференциальное исчисление
Дифференцируемость функции
Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в ней.
Для того чтобы функция f (x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная f ’(x0) = A.
Следствие:
Обратное утверждение неверно.
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР

Дифференциальное исчисление
Дифференциал функции
Из определения дифференцируемости функции и её производной получаем, что
Если
то
Значит, при
имеем
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР

Определение:
Дифференциальное исчисление
Дифференциал функции
Таким образом, по определению
Главная линейная часть приращения функции f (x) в точке х0 называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается df (x0).
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР

Дифференциальное исчисление
Дифференциал функции
Рассмотрим функцию у = х.
То есть, приращение и дифференциал независимой переменной равны между собой:
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Найдём её дифференциал:
С другой стороны, имеем:
Значит, можно записать:

Дифференциальное исчисление
Перепишем выражение для дифференциала функции в виде
Пусть y = f (x) – некоторая функция.
Это выражение представляет собой уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке х0.
Геометрический смысл дифференциала функции
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР

Дифференциальное исчисление
Свойства дифференциала функции
Для дифференциалов двух функций f (x) и g(x) справедливы следующие формулы:
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР

Пример:
Решение:
в точке х0 = 1.
Найти дифференциал функции
Дифференциальное исчисление
Дифференциал функции
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР

Дифференциальное исчисление
Приложения дифференциала функции
С помощью дифференциала можно приближённо вычислять значения функции f (x) для значений x, близких к некоторому значению x0.
Имеем:
Тогда
или
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР

Пример:
Решение:
Вычислить приближённо
Дифференциальное исчисление
Приложения дифференциала функции
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР

Пусть f (x) – сложная дифференцируемая функция,
где x = ϕ (t) – дифференцируемая функция.
Дифференциальное исчисление
Дифференциал сложной функции
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Найдём её дифференциал.
Если х – независимая переменная, то
Если независимой переменной является t, то
где

Дифференциал функции всегда равен произведению её производной на дифференциал аргумента и не зависит от того, является ли величина, по которой взята производная, независимой переменной или функцией другой переменной.
Дифференциальное исчисление
Инвариантность формы первого дифференциала
Автор: И.В. Дайняк, к.т.н., доцент
Кафедра высшей математики БГУИР
Из приведенных выше формул имеем:
то есть производная функции в точке численно равна отношению дифференциалов функции и её аргумента независимо от того, является х независимой переменной или является функцией другой переменной.