Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Лeкция №6-7 презентация

Пусть функция определена в некоторой области D и
Функция имеет максимум в точке , если
для всех точек достаточно близких к точке и отличных от неё.
Функция имеет минимум в точке , если
для всех точек достаточно близких к точке и отличных от неё.
z
y
x
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Основные понятия

Необходимые условия экстремума. Если функция достигает экстремума в точке , то её частные производные в этой точке равны нулю или не существуют:
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют называются критическими точками функции.
Для нахождения экстремума функции в данной области необходимо каждую критическую точку подвергнуть дополнительному исследованию.
Достаточные условия экстремума. Пусть функция в некоторой области D имеет непрерывные частные производные и точка есть критическая точка данной функции. Обозначим:
и .
Тогда:
1) Если , то функция в точке имеет минимум;
2) Если , то функция в точке имеет максимум;
3) Если , то в точке функция экстремума не имеет.
Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Пример 1. Найти экстремум функции .
Решение. Находим частные производные первого порядка функции:
Приравняем их к нулю и найдем критические точки функции:
Т.е. точка - критическая точка функции.
Далее находим частные производные второго порядка исходной функции:
Вычисляем значения частных производных второго порядка в критической точке:
Находим определитель:
Так как , то в точке функция имеет минимум:

Пример 2. Найти экстремум функции .
Решение. Находим критические точки: ,
Получили две критические точки: .
Вычисляем частные производные второго порядка:
Далее исследуем на экстремум каждую точку отдельно:
1) Исследуем точку :
Так как , то в точке функция имеет минимум:
2) Исследуем точку :
Так как ,то в точке функция экстремума не имеет.

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой области D.
Тогда она достигает в некоторых точках этой области своего наибольшего и наименьшего значения.
Эти значения достигаются функцией во внутренних точках области или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции:
1) Найти все критические точки функции, принадлежащие заданной области, и вычислить значения функции в них.
2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.
3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее и наименьшее значение в заданной области

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой .
Решение. Строим область и находим критические точки функции:
В у
4
. Эта точка лежит внутри области. Вычисляем
значение функции в этой точке:
О
4 А
Исследуем границы области: , получим
Получили точку . Находим .
Граница , получим ,
Т.е. имеем точку . Вычисляем

Граница . Подставив это выражение в заданную функцию, получим:
или
Находим
Получили точку .
Вычисляем значение функции в этой точке:
Далее вычисляем значения функции в точках .
Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная функция достигает в точке А(4;0), а наименьшее – в точке .
Таким образом:

Производной функции по направлению вектора называется предел
где
Если функция дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле
(*)
где - угол , образованный вектором и осью ОХ.
В случае функции трех переменных производная по направлению определяется аналогично:
(**)
где - направляющие косинусы вектора .
Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении.
Производная по направлению

Пример. Найти производную функции в точке в направлении вектора , если . Решение. Находим координаты вектора и его направляющие косинусы:
Находим частные производные функции и их значения в точке М:
Следовательно, используя формулу (**), получим:

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке М, имеющий своими координатами частные производные функции :
Градиент функции и производная по направлению вектора связаны формулой
Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.
Производная в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное
Градиент функции