Элементы теории вероятностей презентация

Классическое определение вероятности случайного события.
Закон нормального распределения.
Статистическое определение вероятности.
Вероятности, вычисляемые как отношения мер.
План

Luca Pacioli
Лука Пачиоли
(1445–1514 гг.)
итальянский математик, магистр богословия, всю жизнь преподававший математику в различных городах Италии

Два игрока играют в кости до того момента, когда кто-нибудь из них выиграет m партий. Однако игру прервали, когда у первого игрока было a выигранных партий, а у второго – b партий (a < m, b < m). Как следует разделить между ними ставку?
1494 год
a : b

Блез Паскаль
(1624-1662)
Пьер Ферма
(1601-1665)

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 5 спортсменов из России, в том числе Кирилл Черноусов. Найдите вероятность того, что в первом туре Кирилл Черноусов будет играть с каким-либо шахматистом из России.
Решите задачу

Закон нормального распределения

Доска Гальтона
(1873 г.)

Sir Francis Galton
(16 февраля 1822 —
17 января 1911)
Английский исследователь, географ, антрополог и психолог, статистик

Доска Гальтона
https://youtu.be/7NUGpzspLD4

Более подробно об этом можно на русском языке прочитать: http://compnews.ru/news/news/33126.html .
Оригинальный английский документ: http://www.princeton.edu/~pear/pdfs/jse_papers/2RMCi0892-3310-002-02-0155.pdf .

Абрахам де Муавр
(1667–1754)
Член Лондонского королевского общества, Парижской и Берлинской академий наук
«Учение о случаях»
(1718 г.)

1375 женщин

Кривая нормального распределения вероятности случайной величины
(закон Гаусса)

Колоколообразная кривая
близка к графику функции
Функция Гаусса

скорости газовых молекул,
масса новорожденных,
биометрические данные людей одного возраста…
Закон нормального распределения имеет важное практическое значение

Являются ли равновозможными события:
появление герба и появление решки;
выпадение четного или нечетного числа очков на игральной кости;
рождение мальчика или девочки?
3. Статистическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности

Пример. Как приближенно установить
число рыб в озере?

4. Вероятности, вычисляемые как отношения мер

Пусть в результате испытания наудачу выбирается точка в области S. Требуется найти вероятность того, что эта точка окажется в области s, являющейся частью области S.
Будем рассматривать события Еi – попадание наудачу выбранной точки из области S в любую ее часть si.
Вероятности, вычисляемые как отношения мер

Можно рассматривать области одного, двух и трех измерений (например, отрезок, квадрат, параллелепипед).
Тогда число возможных исходов испытания и число исходов, благоприятствующих конкретному событию, бесконечны. В этом случае формулу Лапласа применить невозможно.
Вероятности, вычисляемые как отношения мер
?

Введем следующее допущение – пусть исходы испытания распределены равномерно.
Это значит, что если разделить некоторую область S на конечное число равновеликих частей si, то события Еi равновозможны.
Вероятности, вычисляемые как отношения мер
Например, с одинаковой степенью вероятности можно попасть в любую часть круга.

Вероятности, вычисляемые как отношения мер

В круг, радиус которого равен R, вписан правильный треугольник. Какова вероятность того, что наудачу взятая точка круга окажется внутри треугольника?
Задача

В круг, радиус которого равен R, вписан правильный треугольник. Какова вероятность того, что наудачу взятая точка круга окажется внутри треугольника?

Внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4, 6 и 10 см, наудачу выбирается точка М. Какова вероятность того, что она окажется внутри куба с ребром 3 см, который расположен внутри параллелепипеда?
Задача

В – точка окажется внутри куба
Внутри прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 4, 6 и 10 см, наудачу выбирается точка М. Какова вероятность того, что она окажется внутри куба с ребром 3 см, который расположен внутри параллелепипеда?

На стержне АВ, длина которого равна 36 см, нанесена тонкая риска. Какова вероятность того, что эта риска окажется не далее а от конца А или не далее в от середины стержня:
а = 6 см, в = 2 см;
а = 12 см, в = 10 см?
Задача (решите самостоятельно)