Функциональная линия в 9-летней школе презентация

План
Краткая историческая справка
Цели изучения функции в основной школе
Различные трактовки понятия функции
Формирование понятия функции в школьном обучении
Особенности изучения понятия функции с учетом психологических особенностей учащихся.
Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции

Рекомендуемая литература
Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе МВШ 1978, №2
Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры. МВШ 1996, №6.
Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М. 1963
Цукарь А.Я. Изучение функции в VII классе с помощью средств образного характера. МВШ 2000, №4.

Краткая историческая справка
термин «функция» - в 1673 году Декарт - соответствие между отрезками – ординатой и абсциссой некоторой точки
Яков и Иоганн Бернулли – аналитическая трактовка понятия «функция»
Эйлер (1748 г.) рассматривает функцию переменного количества: функция переменной величины есть аналитические выражение, составленное каким-то способом из этой переменной величины и из числа или постоянной величины плюс линия, проведенная от руки
Н.И. Лобачевский (1834): функция как зависимость между объектами, понимая под объектами числа
Дирихле (1837) распространяет это определение на объекты разной природы, но оставляет статическим

Рене Декарт
1596-1650
французский философ, математик и естествоиспытатель
Рассуждения о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках
целью Декарта было описание природы при помощи математических законов
разрабатывает новую область математики — аналитическую геометрию

Факторы, определяющие значение и место функции
Основные понятия алгебры и геометрии трактуются на функциональной основе
Использование свойств функций лежит в основе метода решения математических задач
Функция имеет общекультурное, мировоззренческое значение
Функциональные зависимости используются в разных науках и учебных дисциплинах

Содержание функциональной линии в основной школе
Числовые функции. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций.

Содержание функциональной линии в основной школе
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.

Содержание функциональной линии в основной школе
Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост; числовые функции, описывающие эти процессы.
Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей.

Содержание функциональной линии в основной школе
Числовые последовательности. Понятие последовательности. Понятие предела последовательности. Свойства числовых последовательностей. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Цели изучения функции в основной школе
Обучающие
Формирование системы знаний об основных элементарных функциях: линейной, квадратичной,
и связанных с ними преобразованиях графиков
Образовательные
Формирование представлений о месте функции в системе математических знаний и о роли функции для исследования объектов и явлений из других предметных областей и окружающего мира
Развивающие
развитие функционального мышления
формирование умения работать с абстрактным материалом, умения анализировать и др.

Различные трактовки понятия функции
Классические
переменная величина, числовое значение которой изменяется в зависимости от числового значения другой
закон (правило), по которому значения зависимой переменной величины зависят (соответствуют) значениям рассматриваемой зависимой переменной

Различные трактовки понятия функции
Современные
закон, по которому элементу х из множества Х ставится в соответствие один и только один элемент из У
соответствие, по которому элементу х из множества Х ставится в соответствие один и только один элемент из У
отношение хFу, где х принадлежит Х, а у принадлежит У, если порожденное им множество пар однозначно, т.е. в нем нет различных пар с одинаковыми первыми элементами

Трактовки понятия функции в школьных учебниках
Определение 1. («Алгебра-9» Н.Я.Виленкин)
Функцией f(x) называется правило, которое каждому элементу х из множества Х ставит в соответствие единственный элемент у из У.
Определение 2. ( «Алгебра-7» Ш.А.Алимов и др.)
Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по некоторому правилу число у, то говорят, что на этом множестве задана функция.
Для того чтобы подчеркнуть, что у зависит от х, часто пишут: у(х). При этом х называют независимой переменной, а у(х) – зависимой переменной или функцией.

Выводы
Смешиваются классическая и Т-М трактовки
Необходимо формирование понятия «функция» и в первом и во втором смыслах, так как:
1 подход удобен, когда функция рассматривается как модель (физического процесса или явления и т.д.)
2 подход удобен для изучения взаимно-обратных функций, графика функции, для изучения нечисловых функций

Этапы формирования понятия функции в основной школе
1 этап – пропедевтический (начальная школа)
зависимость между величинами
2 этап – пропедевтический (5-6 класс)
таблицы значений переменных
графики температур
диаграммы

Формирование понятия функции в основной школе
3 этап – функция в классическом понимании (7 класс)
как связь
как закон
как зависимая переменная
Цель этапа: сформировать общее представление о функции и ее свойствах, о разных способах задания функции

Формирование понятия функции в основной школе
4 этап – формирование системы знаний об основных классах элементарных функций (8-9 класс)
Переход к пониманию функции как соответствия между множествами

Примеры заданий
Даны пары множеств и задано соответствие между ними. Является ли оно функцией?
Даны пары множеств. Задать 2 разных соответствия между ними. Являются ли они функциями?
Цель: сформировать понимание, что задание функции требует определения трех объектов – двух множеств и правила (закона) связи между ними.
«Найди пару». Даны несколько графиков функций и несколько формул, задающих эти же функции. Для каждого графика найти соответствующую ему формулу.
Цель: сформировать представление о разных способах задания функции.

Особенности изучения понятия функции с учетом психологических особенностей учащихся
Обучение функциям позволяет одну и ту же информацию представлять в различной форме:
аналитически
графически
словесно

Особенности изучения понятия функции с учетом психологических особенностей учащихся
Одни и те же задания можно выполнять двумя способами:
графически
аналитически
Возможность многие понятия и свойства вводить многосенсорно

Задание 1
Придумайте задание, предполагающее работу с одним и тем же математическим содержанием, но ориентированное на выполнение учащимися разных когнитивных стилей:
аналитиков и синтетиков
визуалов, аудиалов и кинестетиков

Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции
Функция как математическая модель
Задачи с различным предметным содержанием:
физика
химия
история
география
экономика
…

Реализация межпредметных связей и связей с жизнью при изучении функции
Функция как математическая модель
Рассмотрение реальных ситуаций:
функциональные зависимости
нефункциональные зависимости
соответствия – функции
соответствия, не являющиеся функциями