Содержание
- 2. 1.Возрастание и убывание функции. 2. Максимум и минимум функции. 3.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- 3. Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то функция возрастает на этом промежутке. Теорема
- 4. Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке. Теорема
- 5. Геометрическая интерпретация Если касательные к кривой на некотором промежутке направлены под острыми углами к оси х,
- 6. Функция возрастает Функция убывает
- 7. Пример. Найти интервалы монотонности функции
- 8. Решение: Найдем производную этой функции: Исследуем знак этой производной: Следовательно, функция будет возрастать на промежутке Функция
- 9. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство 2.
- 10. Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство Значения
- 11. max min max
- 12. На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что минимум в одной точке
- 13. Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема. Например, функция имеет минимум
- 14. Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х0 , необходимо, чтобы ее производная в
- 15. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными. Т.об., если в какой-либо точке
- 16. Найти критические точки и экстремумы функций: 1 Примеры
- 17. Решение: Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка
- 18. min
- 19. 2
- 20. Решение: Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка
- 22. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x)меняет знак с плюса на минус, то
- 23. 1 Найти производную функции 2 Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не
- 24. 3 Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки. 4 Найти экстремум функции.
- 25. Исследовать функцию на экстремум: Пример
- 26. Решение: Применим схему исследования функции на экстремум: 1 Находим производную функции:
- 27. 2 Находим критические точки: критические точки
- 28. 3 Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки: min В точке х=1 экстремума
- 29. 4 Находим экстремум функции:
- 30. Согласно теореме Вейерштрасса, если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на нем наибольшего и
- 31. схема нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке: 1 Найти производную функции.
- 32. 2 Найти критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. 3 Найти значения функции
- 33. пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- 34. решение: 1 Находим производную функции: 2 Находим критические точки: критические точки
- 35. 3 Находим значения функций в критических точках и на концах отрезка:
- 36. ЗАМЕЧАНИЕ Если функция непрерывна на интервале (а;в), то она может не принимать на нем наибольшее и
- 37. Функция y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке Х, если для любых х1, х2 из этого
- 39. Функция y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых х1, х2 из этого промежутка
- 41. ТЕОРЕМА 1. Функция выпукла вверх (вниз) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая
- 42. ТЕОРЕМА 2. достаточное условие выпуклости функции Если вторая производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на некотором промежутке
- 43. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, на которых функция выпукла вверх и вниз.
- 44. ТЕОРЕМА 3. необходимое условие перегиба Вторая производная дифференцируемой функции в точке перегиба х0 равна нулю:
- 45. ТЕОРЕМА 4. достаточное условие перегиба Если вторая производная дифференцируемой функции в точке х0 меняет свой знак,
- 46. схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба: 1 Найти вторую производную функции. 2 Найти точки,
- 47. 3 Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах
- 48. Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции
- 49. Решение: 1 Находим вторую производную: 2 Находим точки, в которых вторая производная обращается в нуль:
- 50. 3 Исследуем знак второй производной слева и справа от каждой точки: Точки х1, х2 являются точками
- 51. Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, такая что расстояние от точки (x,f(x)) до этой прямой стремиться
- 52. вертикальная асимптота
- 53. горизонтальные асимптоты
- 54. наклонная асимптота
- 55. ТЕОРЕМА 1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 (исключая, может быть, саму эту
- 56. Тогда прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x). или
- 57. Очевидно, что прямая х=х0 не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х0, т.к.
- 58. ТЕОРЕМА 2. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции Тогда
- 59. ТЕОРЕМА 3. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы Тогда прямая
- 60. Пример. Найти асимптоты графика функции
- 61. Решение: Функция не имеет точек разрыва, следовательно вертикальных асимптот у нее нет. 1 2 Найдем горизонтальные
- 62. Следовательно, прямая является наклонной асимптотой.
- 63. 1 Найти область определения функции. 2 Исследовать функцию на четность и периодичность. Схема исследования функции и
- 64. 3 Найти вертикальные асимптоты. 4 Исследовать поведение функции на бесконечности и найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
- 65. 6 Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. 7 Найти точки пересечения графика с осями координат
- 66. Пример. Исследовать функцию и построить ее график
- 67. Решение: 1 Находим область определения функции. Функция определена при всех значениях х, кроме Следовательно, область определения
- 68. Функция является четной, следовательно ее график будет симметричен относительно оси ординат. Функция не периодична. 3 Находим
- 69. При слева При справа Следовательно, прямая х=1 является вертикальной асимптотой. Аналогично можно проанализировать х=-1, но так
- 70. Следовательно, y=-1 - горизонтальная асимптота. Т.к. то наклонных асимптот нет. 5 Найдем интервалы монотонности и экстремумы
- 71. Исследуем знак производной при переходе через эту точку: минимум
- 72. Интервалы монотонности функции: Функция убывает на: Функция возрастает на: 6 Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.
- 73. Точек, в которых вторая производная обращается в ноль, нет. Поэтому точек перегиба у графика нет. Числитель
- 74. Интервалы выпуклости функции: Функция выпукла вниз на: Функция выпукла вверх на: 7 Найдем точки пересечения графика
- 76. Скачать презентацию