Исследование функций и построение графиков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа презентация

Исследование функций
Теорема Ферма.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Геометрический смысл.
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
0
y
x
a
b
c

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Геометрический смысл.
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
Геометрический смысл.
0
0
y
y
x
x
a
b
c
a
b
c

Исследование функций
Теорема Ферма.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда :
Геометрический смысл.
Теорема Ролля.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную
во всех внутренних точках (a,b);
Тогда :
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
Геометрический смысл.
Геометрический смысл.
0
0
0
y
y
y
x
x
x
a
b
c
a
a
b
b
c
c

Исследование функций
Монотонность функции.
Определение 1.
Функция называется
возрастающей в (a,b) , если
Определение 2.
Функция называется
убывающей в (a,b) , если
y
y
x
x
0
0

Исследование функций
Теорема.
Пусть
Тогда:
Доказательство.
1.
2.
3.

Исследование функций
Экстремум функции.
Определение 1.
Точка оси ОХ называется
точкой minimum`а функции ,
если - окрестность точки такая, что
Определение 2.
Точка оси ОХ называется
точкой maximum`а функции ,
если - окрестность точки такая, что
Определение 3.
Точками экстремума называются
точки minimum`а и точки maximum`а.
Значения функции в этих точках
Называют экстремальными значениями.
y
y
x
x
0
0

Исследование функций
Необходимый признак экстремума.
Теорема.
1.
2.
Доказательство.
Пусть - удовлетворяет теореме Ферма
Определение 3.
Критическими точками называются
точки оси ОХ , в которых
либо не существует.

Исследование функций
Достаточные признаки экстремума.
Определение.
Пусть определена и непрерывна
в δ - окрестности точки (включая точку ).
Пусть в δ - окрестности точки
(за исключением, быть может, точки ).
Говорят, что при переходе через точку
меняет знак с « + » на « - », если
Говорят, что при переходе через точку
меняет знак с « - » на « + » , если

Исследование функций
Первый достаточный признак экстремума.
Теорема.
1.
2.
3. при переходе через точку
меняет знак с « + » на « - »
4. при переходе через точку
меняет знак с « - » на « + »
Доказательство.
1. меняет знак
с «+» на «-»
2. меняет знак
с «-» на «+»
Точка - точка maximum`а
Точка - точка minimum`а

Исследование функций
Второй достаточный признак экстремума.
Теорема.
1.
2.
3.
4.
Точка - точка minimum`а
Точка - точка maximum`а

Исследование функций
Выпуклость и точки перегиба графика функции.
Определение 1.
График функции называется
выпуклым вверх в , если
график расположен не выше
любой своей касательной при
Определение 2.
График функции называется
выпуклым вниз в , если
график расположен не ниже
любой своей касательной при
Определение 3.
Точка графика функция
называется точкой перегиба, если
окрестность точки ,в которой
слева от точки график расположен
по одну сторону, а справа по другую сторону
от касательной, проходящей через точку
y
y
y
x
x
x
0
0
0

Исследование функций
Достаточный признак выпуклости.
Теорема.
1.
2.
3.
График функции
выпуклый вниз в
График функции
выпуклый вверх в

Исследование функций
Необходимый признак перегиба.
Теорема.
1. График функции
в точке имеет перегиб;
2.
Достаточный признак перегиба.
Теорема.
1.
2.
3.

Исследование функций
Асимптоты графика функции.
Определение.
Прямая называется асимптотой графика
функции , если расстояние от точки
на графике до прямой стремится к нулю при
неограниченном удалении точки от начала координат.
0
x
y

Исследование функций
Асимптоты графика функции.
Определение.
Прямая называется асимптотой графика
функции , если расстояние от точки
на графике до прямой стремится к нулю при
неограниченном удалении точки от начала координат.
0
x
y
0
x
y

Исследование функций
Асимптоты графика функции.
Определение.
Прямая называется асимптотой графика
функции , если расстояние от точки
на графике до прямой стремится к нулю при
неограниченном удалении точки от начала координат.
0
x
y
0
0
x
x
y
y
1
-1

Исследование функций
Теорема 1.
Прямая является вертикальной асимптотой,
если хотя бы один из пределов
равен
Теорема 2.
Прямая является наклонной асимптотой,
если
и
Замечание. Горизонтальная асимптота - частный случай
наклонной асимптоты при

Исследование функций
Общая схема исследования функции.
Первый этап.
1. Область определения, точки разрыва.
2. Четность, нечетность.
3. Периодичность.
4. Точки пересечения с осями координат.
5. Асимптоты графика.
6. Поведение при
Уточненное исследование с помощью
первой производной.
1. Точки экстремума (вычислить экстремальные значения).
2. Интервалы монотонности.
Исследование с помощью второй производной.
1. Точки перегиба (вычислить значение функции и угловой коэффициент).
2. Интервалы выпуклости.

Исследование функций
Пример 1.
Исследовать функцию и построить график
1. О.О.Ф.
2. Четность, нечетность:
3. Непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
с Оу:
С Ох:
Функция общего вида

Исследование функций
5. Асимптоты.
а) вертикальных асимптот нет;
б) наклонные:
6. Поведение при
Наклонных асимптот нет

Исследование функций
Исследование с помощью первой производной.

Исследование функций
Построение графика.
x
y
0

Исследование функций
Исследование с помощью второй производной.
х
+
-

Исследование функций
Построение графика.
x
y
0

Исследование функций
Пример 2.
Исследовать функцию и построить график .
1. О.О.Ф.:
2. Четность, нечетность:
3. Непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
5. Асимптоты:
а) вертикальные:
б) наклонные:
Функция
общего
вида.

Исследование функций
График функции.
0
x
y
1
2
-1
-1
-3
-2
-4
-5
3

Исследование функций
График функции.
?
x
y
0
1
2
3
-1
-1
-2
-3
-4
-5

Исследование функций
Исследование с помощью первой производной.
x
0
1
2