Компьютерный практикум по математическому анализу в среде Matlab. Практическое занятие 8 презентация

Matlab: краткая теория

Matlab: краткая теория
Сходимость и расходимость положительных числовых рядов
Необходимый признак сходимости ряда:
Общий член ряда стремится к 0. Например, (1/n^2)->0 при n->Inf.
Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.
Или по-другому: если предел общего члена ряда (или выражения, стоящего под знаком суммы) не стремится к 0 при n->Inf, то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела ряда (-1)^n, или когда предел равен конкретному значению, например 1/8. Так как 1/8 не равно 0, ряд будет расходиться.
Однако некоторые ряды ведут себя странно, например (1/n)->0 при n->Inf, тем не менее этот ряд является гармоническим и расходится. Существует также обобщённый гармонический ряд: (1/n^a), который сходится при a>1 и расходится при a<=1. Поэтому для доказательства сходимости ряда используются дополнительные признаки: Даламбера, Коши или предельный.
Предельный признак сравнения числовых положительных рядов:
Есть два ряда: an и bn. Если предел отношения an/bn при n->Inf равен конечному, отличному от нуля числу, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Т.е. берём эталон, про который мы знаем, что он , например, сходится (1/n^2), и находим предел отношения, чтобы определить, сходится ли исследуемый ряд (1/(n^2-n)). Предел отношения этих рядов равен 1 при n->Inf, значит, ряд 1/(n^2-n) тоже сходится!

Matlab: краткая теория
Возможные функции для выполнения заданий:
taylor(a,b,c,d) – разложение математических функций в ряд Тейлора:
f=str2sym(‘1/x’);
tf=taylor(f);
pretty(tf)
функция pretty отображает результат в более понятном, красивом, “естественном” с точки зрения человека виде.
a – сама функция; b – по какой переменной производить разложение, если a – это функция нескольких переменных; c – точка, в окрестности которой проводится разложение; d – параметры (например: ‘Order’,5-количество членов разложения 5 (максимальная степень ряда)).
В составе Symbolic Math Toolbox есть Taylor tool, который позволяет наглядно экспериментировать с разложением функция в ряд Тейлора.
symsum(a,b,c,d) – нахождение символьных выражений для сумм, в том числе и бесконечных; a – слагаемое, зависящее от суммы (символьное выражение, стоящее под знаком суммы); b – индекс; c – нижний предел суммы; d – верхний предел суммы, например:
syms k; s=symsum(‘(-1)^k/k^2’,k,1,Inf)
Если в выражение a входит факториал, то применяется sym: sym(‘(k)!’) или функция factorial(k)