Матрицы и СЛАУ МНК. (Лекция 5 ) презентация

Матрица размера (m×n) - прямоугольная таблица чисел, каждый элемент которой имеет 2 индекса ( первый - по строке и второй - по столбцу).
Частные случаи
- единичная матрица – это матрица у которой на главной диагонали 1, а вне главной диагонали 0.

Действия над матрицами
ТРАНСПОНИРОВАНИЕ – это процедура, при применении которой в матрице меняются местами строки и столбцы. Транспонированная матрица обозначается верхним индексом «T». Если у исходной матрицы размер (m×n), то у транспонированной матрицы размер (n×m) .
СЛОЖЕНИЕ - матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых местах). !!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т.е. одинаковое число строк и столбцов).
ТРАНСП(массив)

ПЕРЕМНОЖЕНИЕ - матрицы A и B можно перемножать, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Если матрица A имеет размер (m×k), а матрица B имеет размер (k×n), то матрица имеет размер (m×n). При этом AB≠BA.
МУМНОЖ(массив1; массив2)
Пример:

Произведением матрицы A на число k называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k:
Для суммы и произведения матриц справедливы следующие соотношения:

Примечание: Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
Определитель матрицы – это число, характеризующее матрицу. Если определитель матрицы не равен 0, то говорят, что матрица невырожденная. В противном случае матрицу называют вырожденной.
!!!Определитель вычисляется только для квадратных матриц.
МОПРЕД(массив)
МОБР(массив)

Определителем матрицы второго порядка, называется число, обозначаемое символом
Подобное определение можно дать и для определителя третьего порядка:
+
–

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ).
НА ПРИМЕРЕ СИСТЕМЫ ИЗ 3-Х УРАВНЕНИЙ С 3-Я НЕИЗВЕСТНЫМИ
Тройка чисел
называется решением системы (1), если в результате
все три уравнения (1) обращаются в тождества.
подстановки этих чисел вместо
В методе Крамера основную роль будут играть следующие четыре определителя:
– главный определитель системы (1)
Существует несколько методов решения СЛАУ: метод Крамера, Матричный метод ( метод обратной матрицы), метод Гаусса.
В Excel мы будем рассматривать первые два метода.
Метод Крамера

Если главный определитель системы (1) не равен нулю, то решение системы (1) существует и единственно.
– решение единственное
Используя свойства определителей, решение системы (1) можно записать в виде:
– формулы Крамера
Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений
– матричная запись СЛАУ
– решение СЛАУ (3) в матричном виде
МОБР(массив)
МУМНОЖ(мас 1; мас 2)
МОПРЕД(массив)

Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов — один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Необходимо построить функцию, которая бы проходила наиболее близко к указанным точкам – координаты заданных точек (данные из таблицы)
– количество заданных точек

Система уравнений для определения коэффициентов
сглаживающей функции
Конечный вид сглаживающей функции