Слайд 2
![Метод замены переменной Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-1.jpg)
Метод замены переменной
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в
преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла заменяем переменную x новой переменной u с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получим . Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем
После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки он приводится к переменной x.
Слайд 3
![Метод замены переменной Найдите следующие интегралы: Решение: Введём подстановку .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-2.jpg)
Метод замены переменной
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда
Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим:
Заменив u его выражением через x, находим:
Слайд 4
![Метод замены переменной Найдите следующие интегралы: Решение: Введём подстановку .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-3.jpg)
Метод замены переменной
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда
. Таким образом,
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда . Таким образом,
Слайд 5
![Метод замены переменной Найдите следующие интегралы: Решение: Введём подстановку .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-4.jpg)
Метод замены переменной
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда
. Таким образом,
Задачи для самостоятельной работы:
Слайд 6
![Интегрирование по частям Интегрируя обе части равенства , получим откуда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-5.jpg)
Интегрирование по частям
Интегрируя обе части равенства , получим
откуда
(1)
С помощью этой
формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний окажется проще исходного.
Слайд 7
![Интегрирование по частям Найдите следующие интегралы: Решение: Пусть тогда т.е.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-6.jpg)
Интегрирование по частям
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Пусть тогда т.е. Используя формулу (1), получим:
Решение:
Пусть
тогда
Используя формулу (1), получим:
Слайд 8
![Интегрирование по частям Задачи для самостоятельной работы:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-7.jpg)
Интегрирование по частям
Задачи для самостоятельной работы:
Слайд 9
![Приложения определенного интеграла Определенный интеграл](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-8.jpg)
Приложения определенного интеграла
Определенный интеграл
Слайд 10
![Определенный интеграл В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-9.jpg)
Определенный интеграл
В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX,
прямыми x=a, x=b (a
Слайд 11
![Определенный интеграл Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-10.jpg)
Определенный интеграл
Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных
частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков.
по определению , его называют
определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
Слайд 12
![Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-11.jpg)
Связь между определенным интегралом и первообразной
(Формула Ньютона - Лейбница)
Для непрерывной функции
где
F(x) – первообразная функции f(x).
Слайд 13
![Основные свойства определенного интеграла](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-12.jpg)
Основные свойства определенного интеграла
Слайд 14
![Основные свойства определенного интеграла](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-13.jpg)
Основные свойства определенного интеграла
Слайд 15
![Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-14.jpg)
Геометрический смысл
определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке
[a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
Слайд 16
![Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-15.jpg)
Геометрический смысл
определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке
[a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
Слайд 17
![Геометрический смысл определенного интеграла Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-16.jpg)
Геометрический смысл
определенного интеграла
Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] ,
то
Слайд 18
![Физический смысл определенного интеграла При прямолинейном движении перемещение s численно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-17.jpg)
Физический смысл
определенного интеграла
При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной
трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:
Слайд 19
![Пример Вычислить определённый интеграл: = Решение: -2 1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-18.jpg)
Пример
Вычислить определённый интеграл:
=
Решение:
-2
1
Слайд 20
![с помощью определенного интеграла Вычисление площадей и объемов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-19.jpg)
с помощью определенного интеграла
Вычисление площадей и объемов
Слайд 21
![Площадь фигуры, Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/296674/slide-20.jpg)
Площадь фигуры,
Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что
для любого
x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций: