Слайд 2
![УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Точка (х0,у0) называется точкой условного экстремума (максимума или](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-1.jpg)
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Точка (х0,у0) называется точкой условного экстремума (максимума или минимума), если
существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g(x,y)=C, выполняется неравенство:
max
min
Слайд 3
![УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Условный экстремум является точкой локального максимума, как на данном рисунке (или минимума) функции.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-2.jpg)
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Условный экстремум является точкой локального максимума, как на данном рисунке
(или минимума) функции.
Слайд 4
![УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Существует два основных метода поиска условного экстремума: Метод замены переменной Метод множителей Лагранжа](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-3.jpg)
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Существует два основных метода поиска условного экстремума:
Метод замены переменной
Метод множителей
Лагранжа
Слайд 5
![МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ Рассмотрим нахождение экстремума функции нескольких переменных не](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-4.jpg)
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
Рассмотрим нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей
области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию.
Пусть задана функция z=f(x,y), аргументы которой удовлетворяют уравнению
g(x,y)=C,
называемому уравнением связи.
Слайд 6
![МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ Чтобы найти условный экстремум, нужно из уравнения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-5.jpg)
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
Чтобы найти условный экстремум, нужно из уравнения связи выразить
одну переменную через другую:
y=φ(x).
Подставим это выражение в функцию двух переменных и получим функцию одной переменной:
z=f(x,y)=f(x, φ(x)).
Ее экстремум и будет условным экстремумом функции z=f(x,y).
Слайд 7
![МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (ПРИМЕР) Найти точки максимума и минимума функции при условии 3х+2у=11.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-6.jpg)
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (ПРИМЕР)
Найти точки максимума и минимума функции
при условии 3х+2у=11.
Слайд 8
![МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (РЕШЕНИЕ)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-7.jpg)
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (РЕШЕНИЕ)
Слайд 9
![УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В этом примере связь между х и у](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-8.jpg)
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
В этом примере связь между х и у оказалась линейной,
поэтому уравнение связи легко разрешилось относительно одной из переменных.
Но в некоторых случаях это сделать довольно сложно. Поэтому в общем случае для нахождения условного экстремума используется метод множителей Лагранжа.
Слайд 10
![МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Рассмотрим функцию трех переменных: Функция Лагранжа](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-9.jpg)
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Рассмотрим функцию трех переменных:
Функция Лагранжа
Слайд 11
![МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА (ТЕОРЕМА) Если точка (х0,у0) является точкой условного](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-10.jpg)
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА (ТЕОРЕМА)
Если точка (х0,у0) является точкой
условного экстремума функции z=f(x,y)
при условии g(x,y)=C, то существует
значение λ0, такое что точка
(х0,у0,λ0) является точкой экстремума
функции L(x,y,λ).
Слайд 12
![МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Следовательно, для нахождения условного экстремума функции z=f(x,y)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-11.jpg)
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Следовательно, для нахождения условного экстремума функции z=f(x,y) при условии
g(x,y)=C, требуется найти решение системы:
Последнее уравнение совпадает с уравнением связи.
Слайд 13
![МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Первые два уравнения можно записать в виде:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-12.jpg)
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Первые два уравнения можно записать в виде:
То есть в
точках условного экстремума градиенты функций f(x,y) и g(x,y) коллинеарны.
Слайд 14
![МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Рассмотрим геометрический смысл теоремы Лагранжа: В точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/189155/slide-13.jpg)
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Рассмотрим геометрический смысл теоремы Лагранжа:
В точке условного экстремума линия
уровня функции z=f(x,y) касается линии g(x,y)=C.