Слайд 2
![Нелинейные уравнения: алгебраические (содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-1.jpg)
Нелинейные уравнения:
алгебраические (содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные)
трансцендентные (содержащие другие
функции (тригонометрические, показа- показательные, логарифмические и др.)).
Слайд 3
![1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции). Пусть мы нашли](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-2.jpg)
1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекции).
Пусть мы нашли отрезок
, на котором функция меняет знак , т.е. на котором находится значение корня , т. е.
В качестве начального приближения корня принимаем середину этого отрезка:
Слайд 4
![Далее исследуем значения функции на концах отрезков и Тот из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-3.jpg)
Далее исследуем значения функции на концах отрезков и
Тот из отрезков,
на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка .
Слайд 5
![В качестве первого приближения корня принимаем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-4.jpg)
В качестве первого приближения корня принимаем
Слайд 6
![Таким образом, k-е приближение вычисляется как](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-5.jpg)
Таким образом, k-е приближение вычисляется как
Слайд 7
![после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-6.jpg)
после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а
после k итераций он сокращается в 2k раз:
Слайд 8
![Пусть приближенное решение требуется найти с точностью до некоторого заданного](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-7.jpg)
Пусть приближенное решение требуется найти с точностью до некоторого заданного малого
числа :
Взяв в качестве приближенного решения k-е приближение корня: , учитывая, что
получим
Слайд 9
![Последнее неравенство выполнено, если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-8.jpg)
Последнее неравенство выполнено, если
Слайд 10
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-9.jpg)
Слайд 11
![метод деления отрезка пополам всегда сходится, причем можно гарантировать, что](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-10.jpg)
метод деления отрезка пополам всегда сходится, причем можно гарантировать, что полученное
решение будет иметь любую наперед заданную точность.
Слайд 12
![2. Метод хорд. Процесс итераций состоит в том, что в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-11.jpg)
2. Метод хорд.
Процесс итераций состоит в том, что в качестве
приближений корню уравнения принимаются значения точек пересечения хорды с осью абсцисс.
( Для определенности примем )
Слайд 13
![Сначала находим уравнение хорды ab:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-12.jpg)
Сначала находим уравнение хорды ab:
Слайд 14
![Для точки пересечения ее с осью абсцисс получим уравнение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-13.jpg)
Для точки пересечения ее с осью абсцисс получим уравнение
Слайд 15
![Далее, сравнивая знаки величин и для рассматриваемого случая, приходим к](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-14.jpg)
Далее, сравнивая знаки величин и для рассматриваемого случая, приходим к выводу,
что корень находится в интервале так как
. Отрезок отбрасываем.
и т.д.
Слайд 16
![В качестве условия окончания итераций используется условие близости двух последовательных приближений](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-15.jpg)
В качестве условия окончания итераций используется условие близости двух последовательных приближений
Слайд 17
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-16.jpg)
Слайд 18
![3. Метод Ньютона (метод касательных). метод состоит в том, что](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-17.jpg)
3. Метод Ньютона (метод касательных).
метод состоит в том, что на
k-й итерации проводится касательная к кривой у = F(x) и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс.
Слайд 19
![При этом не обязательно задавать отрезок , содержащий корень уравнения,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-18.jpg)
При этом не обязательно задавать отрезок , содержащий корень уравнения, а
достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня
Слайд 20
![Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке имеет вид](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-19.jpg)
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке имеет вид
Слайд 21
![Отсюда найдем следующее приближение корня как абсциссу точки пересечения касательной с осью х (у = 0):](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-20.jpg)
Отсюда найдем следующее приближение корня как абсциссу точки пересечения касательной с
осью х (у = 0):
Слайд 22
![Аналогично формула для k-го приближения имеет вид необходимо, чтобы не равнялась нулю.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-21.jpg)
Аналогично формула для k-го приближения имеет вид
необходимо, чтобы не равнялась
нулю.
Слайд 23
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-22.jpg)
Слайд 24
![для погрешности корня имеет место соотношение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-23.jpg)
для погрешности корня имеет место соотношение
Слайд 25
![4. Метод простой итерации. Для использования этого метода исход- исходное нелинейное уравнение записывается в виде](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-24.jpg)
4. Метод простой итерации.
Для использования этого метода исход- исходное нелинейное
уравнение записывается в виде
Слайд 26
![Пусть известно начальное приближение корня Подставляя это значение в правую часть уравнения получаем новое приближение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-25.jpg)
Пусть известно начальное приближение корня
Подставляя это значение в правую часть
уравнения получаем новое приближение
Слайд 27
![Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение получаем последовательность значений](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/441763/slide-26.jpg)
Подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение получаем последовательность значений