Содержание
- 2. §1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. В дифференциальном исчислении решается
- 3. Определение 1. Функция называется первообразной функции заданной на некотором множестве если для выполняется равенство
- 4. Пример. Пусть Тогда первообразной для данной функции является функция так как
- 5. Очевидно, что первообразными будут также любые функции где поскольку
- 6. Таким образом, если и − две первообразные одной и той же функции то
- 7. Определение 2. Множество всех первообразных функции на множестве называется неопределенным интегралом и обозначается
- 8. Здесь − знак интеграла, − подынтегральная функция, − подынтегральное выражение, − переменная интегрирования.
- 9. Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции Теорема. Для всякой непрерывной на функции существует на
- 10. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых, зависящих от одного параметра которые получаются одна из другой
- 11. Перечислим основные свойства неопределенного интеграла: 1) 2) 3)
- 12. 4) 5) Если то где − произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
- 13. 6) Если то для
- 14. Приведем таблицу основных неопределенных интегралов: 3) 2) 1)
- 15. 7) 6) 5) 4)
- 16. 11) 10) 9) 8)
- 17. 12) 15) 14) 13)
- 18. Приведенные в данной таблице интегралы называют табличными.
- 19. §2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. 2.1. Метод непосредственного интегрирования. Непосредственным интегрированием называют интегрирование с помощью свойств 3,
- 20. Примеры. 1)
- 21. 2)
- 22. 3)
- 23. 4)
- 24. 5)
- 26. 6)
- 27. 7)
- 28. 8)
- 30. 2.2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменной. На практике часто встречаются интегралы вида или
- 31. Подведем в этом интеграле множитель под знак дифференциала: а затем произведем подстановку В результате получим формулу
- 33. Следовательно, задача свелась к нахождению интеграла который либо уже табличный, либо легко сводится к табличному, и
- 34. Примеры поднесения под знак дифференциала:
- 41. Примеры. 1)
- 42. 2)
- 43. 3)
- 44. 4)
- 45. 5)
- 46. 6)
- 47. 7)
- 48. 8)
- 49. 9)
- 51. 2.3. Метод интегрирования по частям. Пусть и − дифференцируемые функции. Тогда справедлива следующая формула интегрирования по
- 52. С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к отысканию другого интеграла Применение формулы целесообразно в тех
- 53. При этом в качестве следует брать такую функцию, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве −
- 54. 1. Интегралы вида
- 55. где − многочлен, − число. Удобно положить а соответственно.
- 56. Тогда формулу (2.1) надо применять столько раз, какова степень многочлена т.е. раз.
- 57. 2. Интегралы вида
- 59. В этом случае соответственно, а
- 60. 3. Интегралы вида Можно положить или
- 61. Примеры. 1)
- 64. 2)
- 66. 2.4. Интегрирование рациональных дробей. Определение. Рациональной дробью называется функция, заданная в виде отношения двух многочленов:
- 67. Если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, т.е. то рациональная дробь называется правильной; в противном
- 68. Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следующих типов: 3. 2. 1.
- 69. 5. 4. где
- 70. 2.4.1. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших рациональных дробей рассмотрим на примерах.
- 71. Примеры. 1)
- 72. 2)
- 73. 3) Выделим в знаменателе последнего подынтегрального выражения полный квадрат.
- 74. Тогда
- 75. Вернемся к интегралу:
- 77. 4) В числителе подынтегрального выражения нужно получить производную знаменателя, т.е. Тогда
- 81. 2.4.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби. Перед интегрированием рациональной дроби необходимо
- 82. 1. Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из нее целую часть, разделив числитель на знаменатель столбиком,
- 83. 2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: где
- 84. 3. Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей:
- 88. Примеры. 1)
- 89. Тогда
- 90. Итак,
- 92. 2)
- 100. 2.5. Интегрирование иррациональных функций. 2.5.1. Квадратичные иррациональности. I. Интегралы вида
- 101. (2.5)
- 103. Выделим в подкоренном выражении полный квадрат:
- 110. III. Интегралы вида где − рациональная функция, сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки
- 111. где
- 112. Пример.
- 115. IV. Интегралы вида где − рациональная функция, сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки
- 116. где
- 117. Пример.
- 120. IV. Интегралы вида где − рациональная функция, сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки
- 121. где
- 122. 2.6. Интегрирование тригонометрических выражений. I. Интегралы вида где − рациональная функция аргументов и рациональных функций с
- 123. В результате этой подстановки имеем
- 125. Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, поэтому на практике применяют и другие, более
- 126. то применяется подстановка При этом используются формулы
- 127. 2. если − нечетная функция относительно т.е. то применяется подстановка
- 128. 3. если − нечетная функция относительно т.е. то применяется подстановка
- 129. II. Интегралы вида находят а) при нечетном с помощью подстановки б) при нечетном с помощью подстановки
- 130. в) если же и − четные, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул тригонометрии:
- 132. Примеры. 1) Так, как для подынтегральной функции не выполняется ни одно из условий:
- 133. то будем применять универсальную тригонометрическую подстановку:
- 141. Скачать презентацию