Неравенства с модулем. Способы решения неравенств с модулями презентация

Способы решения неравенств с модулями:
1. По определению модуля
2. Возведение обоих частей неравенства в квадрат
3. Замена переменной
4. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства
5. Равносильность неравенств системам
6. Важный частный случай

1.По определению модуля
| f (x) | < а
| f (x) |> а
-a
a
-a
a
|3x-1|<7
-7< 3x-1 <7
-6< 3x <8
-2< x <
Ответ:

2.Возведение обеих частей в квадрат
|x2-1| > |x2-x|
(x2-1)2 > (x2-x)2 - равносильность не нарушена
(x2-1+ x2-x)(x2-1-x2+x) > 0 – разность квадратов
(2x2-x-1)(x-1) > 0
+
+
-
1

3.Замена переменной
t
0
-2
3
+ - - - +

4. Раскрытие модуля на промежутках знакопостоянства
|x-1| + |2-x| > 3 Нули подмодульных выражений: x =1 и x =2
x-1
2-x
+
-
-
+
+
+
0
1
2
3
1
2

5. Равносильность неравенств системам или их совокупности
Можно записать в виде совокупности
Можно записать в виде системы
Неравенство равносильно двум неравенствам:
Равносильно неравенству:
См. решение по определению

5. Равносильность неравенств системам
(примеры)
№ 1
№ 2

6. Один частный случай
умножим на |x+2|>0 в ОДЗ
Учитывая ОДЗ, получим:
возведем в квадрат, обе части
для преобразования используем разность квадратов

Обучающая самостоятельная работа