Несобственные интегралы презентация

Из студенческого фольклора
27.11.2014
Студента после первой сессии спрашивают:
- У вас в программе интегралы были?
Студент, задумываясь, чешет голову, потом отвечает:
- Да, были какие-то, но... не определенные.

Давайте вспомним!
1) неопределённый интеграл – это множество первообразных функций
2) определённый интеграл – это число (например, площадь криволинейной трапеции)
3) Отрезок интегрирования КОНЕЧЕН
Подынтегральная функция НЕПРЕРЫВНА на отрезке интегрирования
27.11.2014

План
1. Несобственные интегралы I рода
определение
геометрическая интерпретация
вычисление
2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
3. Несобственные интегралы II рода
определение
геометрическая интерпретация
вычисление
признаки сходимости
27.11.2014

задачи, приводящие к несобственным интегралам, рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644.
27.11.2014

Точные определения Несобственных интегралов даны О. Коши в 1823.
27.11.2014

Несобственные интегралы I рода
Определение 1: несобственным интегралом от функции в интервале
называется предел интеграла при ,
то есть
Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся
27.11.2014

Определение 2: несобственным интегралом от функции в интервале
называется предел интеграла при ,
то есть
Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся
27.11.2014

Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
где с — произвольное число.
27.11.2014

ЗАМЕЧАНИЕ
Несобственный интеграл
называют сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них
27.11.2014

Несобственные интегралы (или интегралы Римана) I рода - это интегралы с бесконечными пределами интегрирования
27.11.2014

27.11.2014
Вычисление
несобственных интегралов

Примеры.
Исследовать на сходимость интегралы:
1)
Ответ: несобственный интеграл сходится и равен 1(или сходится к 1)
27.11.2014

2)
Ответ: несобственный интеграл стремится к бесконечности или расходится
27.11.2014

3)
27.11.2014

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
Несобственный интеграл выражает площадь БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ.
27.11.2014

Например,
27.11.2014

Вычислим эту площадь:
По определению получаем:
1) вычислим интеграл
27.11.2014

2) Вычислим предел
Ответ: несобственный интеграл
т.е. сходится.
Площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции равна 2
27.11.2014

Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
Вопрос о сходимости несобственных интегралов усложняется, если первообразная функция неизвестна.
В таких случаях иногда удается решить вопрос о сходимости, используя специальные признаки, которые не требуют знания первообразной
27.11.2014

Признак сравнения 1.
Пусть подынтегральная функция во всех точках
интервала неотрицательна:
и для всех значений
выполняется неравенство:
Тогда:
1)если сходиться интеграл , то сходится и
интеграл
2)если расходиться интеграл , то расходится и
интеграл

Пример
Решить вопрос о сходимости интеграла
Решение
Так как при и интеграл
сходится, то сходится и интеграл .
Подынтегральная функция чётная, поэтому сходится и
интеграл
Таким образом, заданный интеграл сходится.
27.11.2014

Замечание
Интеграл называется интегралом
Пуассона и играет очень большую роль
в теории вероятностей.
2. Сформулированный признак сравнения относится только к функциям, сохраняющим один и тот же знак в бесконечном интервале интегрирования
27.11.2014

Исследование интегралов от функций, не сохраняющих постоянный знак, например таких, как
27.11.2014

Признак сравнения 2.
Если сходиться интеграл - интеграл от
абсолютной величины функции ,
то сходится и интеграл
При этом интеграл называется абсолютно
сходящимся

Замечание
1) Если сходится интеграл , то абсолютно
сходятся и интегралы и ,
так как модули подынтегральных функций не
превосходят
2) Если интеграл от расходится, то об интеграле от на одном этом основании ещё ничего нельзя сказать: он может расходиться, а может и сходиться.
В последнем случае говорят, что
сходится условно
27.11.2014

Пример
Интеграл Дирихле сходится, а
интеграл (от модуля подынтегральной
функции) расходится.
Следовательно, интеграл Дирихле сходится условно.
Его величина вычислена специальными приёмами равна:
27.11.2014

Различие условно и абсолютно сходящихся несобственных интегралов установлено
Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле в 1854 г.
27.11.2014

Несобственные интегралы II рода
Пусть функция имеет разрыв в точке
Определение 1: несобственным интегралом от функции непрерывной в интервале
и неограниченной при
называется предел интеграла при .
Записывают это так:
Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся
27.11.2014

Пусть функция имеет разрыв в точке
Определение 2: несобственным интегралом от функции непрерывной в интервале
и неограниченной при
называется предел интеграла при .
Записывают это так:
Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся
27.11.2014

Замечание
Если первообразная функция известна, то в обоих случаях можно записать, что
Где (или ) - предел, к
которому стремится первообразная при (или при ).
Если этот предел не существует, то интеграл расходится
27.11.2014

Точка разрыва функции находится внутри отрезка интегрирования
Определение 3. Несобственным интегралом от функции , имеющей разрыв во внутренней точке отрезка интегрирования
, называется интеграл
27.11.2014

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
Несобственный интеграл, если он существует, выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
27.11.2014

Пример
Найти площадь под кривой y = lnx в интервале
от x = 0 до x = 1
27.11.2014

Решение
Преобразуем неопределённость вида
Применим правило Лопиталя:
Ответ: искомая площадь равна
27.11.2014

Замечание
Признаки сходимости интегралов от функций с бесконечными разрывами подобны признакам сходимости несобственных интегралов I рода
27.11.2014

Дополнение
1. На несобственные интегралы без всяких изменений переносятся простейшие свойства определённых интегралов
2. Основные приемы вычисления несобственных интегралов:
дифференцирование и интегрирование по параметру,
разложение в ряды,
применение теории вычетов.
27.11.2014

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Несобственные интегралы имеют большое значение во многих областях математического анализа и его приложений.
В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде несобственных интегралов, зависящих от параметра, например, гамма-функция
27.11.2014

К несобственным интегралам относится и интеграл Фурье, а также интегралы, встречающиеся в др. интегральных преобразованиях.
Решения краевых задач математической физики записываются кратными несобственными интегралами с неограниченной подынтегральной функцией.
В теории вероятностей большое значение имеет
несобственный интеграл Пуассона
В теории дифракции света используется несобственный интеграл
27.11.2014