Осевая и центральная симметрия. Алгоритмы построения фигур презентация

Математика …выявляет порядок, симметрию, и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного. Аристотель
«Симметрия» - слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей.
Люди с давних времен использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта.
Симметрия широко распространена в природе. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, мозаике в храме, морской звезде.
Симметрия широко используется на практике, в строительстве и технике. Это строгая симметрия в форме античных зданий, гармоничные древнегреческие вазы, здании Кремля, машинах, самолетах и многом другом.
Введение.

Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Осевая симметрия
Осевая симметрия – это симметрия относительно проведенной оси (прямой).
Опр.: Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему.
Свойство: Две симметричные фигуры равны.
Рис. 1
Рис. 2

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой
Построим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно прямой а.
Для этого:
1. Проведем из вершин треугольника АВС прямые, перпендикулярные прямой а и продолжим их дальше.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками А1В1, В1С1, В1С1.
4. Получили ∆ А1В1С1 симметричный ∆АВС.
А
В
С
С
А
В
1
1
1
Построение:
1
а

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.
Прямая а называется осью симметрии.
а
В
В1

Какие фигуры имеют
ось симметрии?

Центральная симметрия
Центральная симметрия – это симметрия относительно точки.
Опр.: Точки А и В симметричны относительно некоторой точки О, если точка О является серединой отрезка АВ.
Свойство: Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
РИС. 2
РИС. 1

Алгоритм построения центрально-симметричной фигуры
Построим треугольник А 1В1 С1, симметричный треугольнику АВС, относительно центра (точки) О.
Для этого:
Соединим точки А,В,С с центром О и продолжим эти отрезки;
2. Измерим отрезки АО, ВО, СО и отложим с другой стороны от точки О, равные им отрезки (АО=А 1О, ВО=В1О, СО=С1О);
3. Соединим получившиеся точки отрезками А 1В1, А1С1, В1 С1.
4. Получили ∆А1 В1 С1 симметричный ∆АВС.
А
В
С
О
С
1
А
В
1
1
Построение:

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.
Точка О называется центром симметрии фигуры.
О
С
С1

Фигуры имеющие центр симметрии

Задача 1
На рисунке изображены треугольник ABC и прямая l. Постройте треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику ABC относительно прямой l.
Решение.
Точка A1 изображенная на рисунке, симметрична точке А относительно прямой l, так как прямая l — серединный перпендикуляр к отрезку AA1. Через точки В и С проведем прямые перпендикулярные к прямой l и отметим на них точки В1 и С1 так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к отрезкам ВВ1 и СС1.
Проведем отрезки А1В1, В1С1, С1А1 и получим искомый треугольник А1 В1 С1

Задача 2
На рисунке изображены отрезок АВ и точка О. Постройте отрезок A1В1 симметричный отрезку АВ относительно точки О.
Решение.
Проведем прямую АО и отметим на ней точку A1 так, чтобы точка О была серединой отрезка АА1.
Точка А1 симметрична точке А относительно точки О.
Аналогичным образом построим точку B1симметричную
точке В относительно точки О.Отрезок А1В1 — искомый.

Постройте треугольники симметричные данным, относительно прямой с.

Постройте треугольники, симметричные данным, относительно прямой с.
с
с
F
F1
E
K
D
D1
А
А1
В
В1

Характерной особенностью орнамента является симметричность отдельных элементов рисунка, а часто и симметричность рисунка в целом.
Орнаменты.
Орнамент (от лат. ornamentum — украшение), узор, состоящий из ритмически упорядоченных элементов.

Симметрия- царица архитектуры

Симметрия – царица архитектуры.
Объемно - пространственная композиция большинства архитектурных ансамблей строится с использованием полной или частичной симметрии.

Спасо –Бородинский
монастырь.

Симметрия – царица архитектуры.