Основания математики. Элементы теории графов презентация

Содержание
РАЗДЕЛ 1. Основания математики (задача 1)
РАЗДЕЛ 2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии (задачи 2 и 3)
РАЗДЕЛ 3. Элементы математического анализа (задачи 4-7)

§ 1. Элементы теории графов
Раздел 1. Основания математики

Определение.
Граф - это упорядоченная пара G = G(V, E), где
V ≠ ∅ - непустое множество вершин,
E – множество ребер
Множество вершин: V = { v1 , v2 , …, vn }
Множество ребер (дуг): E = { e1 , e2 , ….., em }

Примеры графов:

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕРШИНАМИ И РЕБРАМИ
1) Две вершины графа называются смежными, если существует соединяющее их ребро.
2) Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.
3) Если вершина v является концом ребра е, то говорят, что вершина v инцидентна ребру е.

Определение.
Число рёбер, инцидентных вершине v, называется степенью этой вершины и обозначается
Если степень вершины равна нулю, то вершину называют изолированной.

На рисунке вершина А имеет степень, равную 1, вершина С – 4, вершина D – 2. Записывается это в виде: , ,
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
С
D
F
A
B
E
H
G
К

Способы задания графа
1) Матрица инцидентности - таблица, состоящая из n строк (вершины) и т столбцов (рёбра), в которой:
, если вершина инцидентна ребру ;
, если вершина не инцидентна ребру .
! Петля учитывается дважды!

2) Матрица смежности графа
- квадратная таблица А порядка n, в которой:
равно количеству ребер, соединяющих вершину с вершиной .
! Петля учитывается дважды!

Пример.
Граф, имеет матрицу инциденций. Построить граф и найти матрицу смежности
Решение .

Раздел 2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
§ 1. Матрицы. Операции над ними.
§ 2. Определители.
§3. Обратная матрица
§ 4. Решение СЛАУ.
§ 5. Векторная алгебра.
§ 6. Аналитическая геометрия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, содержащая числа или иные математические выражения.
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, элементы матрицы – теми же маленькими буквами.
Размерность матрицы обозначается:
количество строк
количество столбцов
Главная диагональ
Побочная диагональ
§ 1. Матрицы. Операции над ними.

ВИДЫ МАТРИЦ

4) Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, остальные – нулю (обозначается буквой Е):
5) Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется нулевой матрицей и обозначается символом 0.

6) Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, стоящие вне главной диагонали равны нулю
7) Квадратная матрица называется треугольной, если элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали равны нулю:

Действия над матрицами
Равенство матриц
Сложение (вычитание) матриц
Сумма и разность матриц существуют только для матриц одинакового размера, при этом соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются.
Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны.
Транспонирование матрицы
Операция получения из данной матрицы транспонированной заменой каждой строки столбцом с тем же номером

Умножение матрицы на число
Найти значение выражения:
При умножении матрицы A на число k получается матрица того же размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k.
Решение:

Умножение матриц
Произведение матриц A * B определено только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в противном случае произведение не существует.

Пример.
Найти С = A * B
6
9
1
14
24
4

2) Определитель 2 - го порядка.
§ 2. Определители.
Определитель (обозначается )– это числовая характеристика квадратных матриц, вычисляемая по следующим правилам:
1) Определитель 1 - го порядка равен самому элементу.
Пример:

a11a22a33+a12a23a31+ a13a21a32-
- a13a22a31- a21a12a33- a32a23a11
«+»
«-»
3) Определитель 3 - го порядка. Правило треугольников.

Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка
Пример.

Правило Лапласа (разложение по элементам строки (столбца)
3) Определитель n - го порядка.
Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения
Алгебраическим дополнением элемента ai j называется
Mi j - минор элемента ai j - это oпределитель, который получается из определителя n - го порядка путем вычеркивания i - й строки и j - го столбца, т.е. строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ai j

Пример.

Свойства определителя n-го порядка:
1. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы, т.е.
2. Если все элементы некоторой строки матрицы А равны 0, то определитель равен 0.
3. Общий множитель всех элементов строки определителя можно вынести за знак этого определителя.
4. Если в определителе поменять местами две строки, то он изменит знак на противоположный.
5. Если определитель имеет две равные строки, то он равен 0.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число k.
6. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен 0.

§3. Обратная матрица
Теорема. Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда .
Определение. Квадратная матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к квадратной матрице A n - ного порядка, если выполняется условие:
АА-1=А-1А=Е,
где A, А-1, Е – одного порядка.

§4. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений
Метод обратной матрицы рассмотрим на примере решения квадратной системы 3 порядка.
Запишем эту систему в матричном виде. Обозначим:
Основная матрица системы
Матрица - столбец неизвестных
Матрица - столбец свободных членов

Тогда систему можно записать так:
Найдем решение системы в матричном виде.
Предположим, что det A отличен от нуля и, следовательно, существует обратная матрица А-1.
Умножим слева матричную запись системы на обратную матрицу:
Метод обратной матрицы применим для решения квадратных систем с невырожденной основной матрицей.

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений
Решить систему методом обратной матрицы.
-0,5
2
-5

§5. Метод Крамера.
Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
Δ- главный определитель системы. Рассмотрим вспомогательные определители, которые получаются из главного определителя, заменой соответствующего столбца столбцом свободных членов:

Теорема (правило Крамера).
Тогда, если , система линейных уравнение имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера:
Пусть - определитель матрицы системы А,
-определитель, полученный из заменой j - го столбца столбцом свободных членов В.
Или в общем случае, для системы из n уравнений с n неизвестными:

Пример: Решить систему уравнений
по формулам Крамера.
значит система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений
где числа а11, а12,…а33 – коэффициенты системы,
b1, b2,b3 - свободные члены системы,
х1, х2,х3 - неизвестные.
Расширенная матрица системы

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Следующие действия над расширенной матрицей системы называются элементарными преобразованиями.
Умножение или деление элементов строк на одно и то же число, не равное нулю
Перестановка местами двух строк
Прибавление к элементам строки элементов другой строки, умноженных на произвольный множитель.
Суть метода: с помощью элементарных преобразований над строками расширенная матрица приводится к треугольному виду.

Пример: Решить систему уравнений
методом Гаусса.
Расширенная матрица системы имеет вид:
Переставим строки (для удобства):
От третьей строки отнимем первую, умноженную на 4:
к третьей строке прибавим
вторую, умноженную на 6