Пирамида презентация

Пирамида

А1
А2
Аn
Р
А3
Определение: Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников, называется пирамидой.
Р А1А2…Аn -пирамида
Вершина
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. PH-высота
Многоугольник
А1А2…Аn – основание пирамиды
Треугольники А1А2Р, А2А3Р и т.д.
боковые грани пирамиды
Отрезки А1Р, А2Р, А3Р и т.д.боковые ребра
Р - вершина

Треугольная пирамида – это
тетраэдр
Четырехугольная
пирамида

А1
А2
Аn
Р
А3

Площадь полной поверхности пирамиды

Определение: Пирамида называется правильной, если ее основание- правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является ее высотой.
Центром правильного многоугольника называется центр вписанной (или описанной около него окружности).

Теорема: Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
Р

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
Дано:
PA1A2…An – правильная пирамида
Док - ть: 1) А1Р = А2Р = … = АnР
2) △А1А2Р = △А2А3Р = … =
= △Аn-1АnР – р/б

Док – во:
2) т. к. РА1 = РА2 =…= РАn, поэтому
Боковые грани – р/б △
Основания этих △ равны:
А1А2 = А2А3 = … = А1Аn
т. к. А1А2…Аn - правильный многоугольник
△А1А2Р = … = △Аn-1АnР – р/б

Определение: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
Р

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
Р
Теорема: Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

Что такое пирамида?
Пирамида – это многогранник, у которого одна грань ( основание пирамиды ) – это произвольный многоугольник ( ABCDE, рис.), а остальные грани ( боковые грани ) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ
Высота -
A
B
C
P
H
Основание -
ABC
многоугольник.
Боковые грани -
треугольники.
AP, BP, CP
Боковые ребра -
.
Вершина - общая точка всех
боковых граней.
P
отрезки,
соединяющие вершину с
вершинами основания.
ABP, BCP, ACP
перпендикуляр,
проведенный из вершины к плоскости основания.
PH

ВИДЫ ПИРАМИД
Неправильная пирамида
Правильная пирамида

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Пирамида называется правильной, если в основании
лежит правильный многоугольник, а отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с центром её
основания, является высотой пирамиды.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
H
H
H
Боковые ребра равны
Боковые грани – равные
равнобедренные треугольники
Апофема правильной пирамиды –
высота ее боковой грани, проведенная
из вершины.
K
PK - апофема

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ
Sбок. = 1/2Pосн. * l
где Pосн. – периметр основания,
l –апофема правильной пирамиды.

ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ
Sполн. = Sбок. + Sосн.
где Sосн. – площадь основания.

ОБЪЁМ ПИРАМИДЫ
V = Sосн. * h
где Sосн. – площадь основания, h – высота пирамиды.

Заполни таблицу

Усеченная пирамида

Усеченная пирамида
многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.
Нижнее и верхнее основания
Боковые грани
Боковые ребра
Высота (перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания)

Все боковые грани усеченной пирамиды - трапеции

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
Апофема d правильной усеченной пирамиды

Боковая грань усеченных пирамид
А
В
С
D
h

Теорема о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему
S бок = ½(Р1 + Р2) l
P1= 4a1
P2= 4a2
Док – во:
S бок = ½l(a1+a2) + ½l(a1+a2) +
+ ½ l(a1+a2) + ½l(a1+a2) =
= ½l(a1+ a2+ a1+ a2+ a1+ a2+ a1+ a2) =
= ½l(4a1+ 4a2) = ½l(P1+ P2)

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды
Объём V усечённой пирамиды, высота которой равна H, а площади оснований равны S и S1, вычисляется по формуле:

Усеченная пирамида

Правильная четырехугольная усеченная пирамида
А
В
С
D
Е
О