Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа презентация

Предполагаем, что .
Ln(x) — многочлен Лагранжа: для всех i=0,...,n
[a,b] — отрезок, содержащий узлы x0, x1, ..., xn.
Найдем оценку отличия значения f(x) от значения Ln(x) в точке , не совпадающей ни с одним из узлов, иначе, величину остаточного члена
03.10.2014 13:29

Запишем равенство
где – многочлен
определённый через узлы x0, x1, ..., xn
и С – некоторая постоянная (параметр).
Подберём параметр С так, чтобы обращалась в нуль в точке , для которой делаем оценку, т.е. и
.
К функции на каждом из отрезков
применима теорема Ролля
03.10.2014 13:29

Введём в рассмотрение функцию
03.10.2014 13:29

Итак, существует : .
Так как
и
получаем
Отсюда
03.10.2014 13:29

Для остаточного члена получаем выражение
03.10.2014 13:29

Точное представление f(x) через её интерполяционный многочлен Лагранжа :
где и зависит от x.
Можно оценить предельную абсолютную погрешность интерполирования на отрезке с помощью формулы
03.10.2014 13:29

Пример. Оценить с какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа , если известны значения
03.10.2014 13:29

Улучшение (уменьшение погрешности) интерполирования за счёт выбора узлов.
03.10.2014 13:29
Задача. Дана функция на отрезке , дифференцируемая до (n+1)-го порядка. Выбрать узлы ,так чтобы было наименьшим.

Многочлен Чебышева
03.10.2014 13:29

03.10.2014 13:29
Обозначим

03.10.2014 13:29
x
y
y
x

03.10.2014 13:29

03.10.2014 13:29

03.10.2014 13:29

03.10.2014 13:29
Замечание. Корни расположены неравномерно и сгущаются к концам отрезка

03.10.2014 13:29
Теорема Чебышева. Из всех полиномов n-й степени со старшим коэффициентом равным 1, у полинома максимальное абсолютное значение на интервале наименьшее, те есть
Многочлен Чебышева – «многочлен, наименее уклоняющийся от нуля».

03.10.2014 13:29
Теорема. Корни многочлена
минимизируют в оценке погрешности интерполяционного многочлена. При этом
и Тогда

03.10.2014 13:29
При интерполировании на произвольном отрезке
линейной заменой
функция переводится на отрезок
Рассматривается функция
при этом корни многочлена
Чебышева
перейдут в