Производные функции одной и нескольких переменных презентация

Производная функции одной переменной
а
b
y=f(x)

Производная функции нескольких переменных
y - const
y
x - const

Геометрический смысл
k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Секущая стремится занять положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей.
Секущая

y′ = tg α = y′ (x0)
Геометрический смысл
α
М
y = f (x)
x
y
0 Уравнение нормали
Уравнение касательной

Физический смысл
.
или
Замечание. С физической точки зрения производная функции
y = f (x) определяет в конкретной точке скорость изменения функции относительного независимого аргумента

Геометрический смысл
точка касания

Геометрический смысл
Уравнение касательной плоскости:
.
Уравнение нормали к поверхности
.

Правила дифференцирования
1. с' = 0;
2. (си)' = с·и'
3. (и + v) ' = и' + v'
4. (и·v) ' = и '⋅ v + и⋅ v '
5.
6. y = f (и); и = и (х)
7

Таблица производных

Логарифмическое дифференцирование
Степенно-показательная функция:
Рекомендации. Дифференцируя функцию
(считая y – функцией, а x – переменной),
логарифмировать и применить свойства:

Производные высших порядков функции одной переменной
Определение. Производной второго порядка функции y = f (x) называется производная от производной первого порядка этой же функции:

Производная функции, заданной параметрически
Общий вид записи функции:
Производная функции
если у – функция, x – переменная, то

Производная функции, заданной неявно
Общий вид: F(x, y) = 0.
1) Чтобы найти производную первого порядка необходимо:
а) продифференцировать обе части F(x, y) = 0 равенства, считая y – функцией (y' ≠ 1),
x – переменной (x' = 1);
б) выразить y′ .
2) Чтобы найти производную второго порядка необходимо найти следующую производную от производной первого порядка,
считая y – функцией (y' ≠ 1),
y′ – функцией (y′)′ = y′′ , x – переменной (x' = 1).

Производные высших порядков функции нескольких переменных