Работа по геометрии Ортоцентрический треугольник (пояснительная записка + презентация)

Оглавление
Введение
Понятие ортоцентра
Прямая Эйлера
Вспомогательная окружность
Ортоцентрический треугольник
Ортоцентр и описанная окружность
Экстремальное свойство
Заключение
Список используемой литературы и ресурсов

Введение
В курсе геометрии были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Некоторые из них включены в задачи повышенной трудности. Здесь мы рассмотрим ещё несколько замечательных теорем планиметрии.

Ортоцентр
Точка пересечения высот (прямых, содержащих высоты) треугольника называется ортоцентром.
А
B
C
A'
B'
C'
H

O
M
H
A
B
C
B'
C'
A'
По теореме о высотах произвольного треугольника
Прямая Эйлера
O – центр описанной окружности,
M – центр тяжести, H - ортоцентр
ЖИВОЙ ЧЕРТЕЖ

А
B
C
B1
A1
H
Вспомогательная окружность

A
B
A1
B1
C

A
B
C
A1
B1
Κ = B1C / BC = cos γ, если γ < ½ π ,
K = |cos γ|, если γ > ½ π.

Ортоцентрический треугольник
A
B
C
A1
B1
C1
H
Ортоцентрическим треугольником для данного ABC называется треугольник A1B1C1, образованный слиянием оснований его высот.
Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника, а ортоцентр H – центром вписанной в треугольник A1B1C1 окружности.

A
B
H
B1
A1
C1
C

Ортоцентр и описанная окружность
A
B
C
A1
B1
C1
H
H1
H2
H3
1
2
3

A
B
C
H

A
B
C
C1
H
H3

Экстремальное свойство
A
B
C
M
L
K
M'
M''

B
A
M
C
M'
M''
K
L
Из всех треугольников KLM минимальны периметр имеет ортоцентрический треугольник.
M'M'' минимален, когда минимальна сторона M'C, а т.к. M'C = M''C, то искомый минимум достигается, когда MC – высота треугольника ABC, т.е. когда M = C'.

α
α
α
½ π - β
½ π - γ
C
C1''
C1'
C1
A
B
L

Заключение