Равнобедренный треугольник и его свойства презентация

Равнобедренный треугольник
и его свойства

Свойство - характеристика, присущая вещам и явлениям, позволяющая отличать их.
..

СВОЙСТВО — СВОЙСТВО, а, ср. Качество, признак, составляющий отличительную особенность кого чего н. … Толковый словарь Ожегова
свойство — свойство особенность, присущая предмету и позволяющая включить его в тот или иной класс предметов. …
Энциклопедический словарь
I. СВОЙСТВО а; ср. кого чего. Существенный признак, качество, отличающее один предмет или одно лицо от другого; отличительная особенность, черта кого, чего либо. … Толковый словарь русского языка Кузнецова

Цель:
Исследовать, доказать свойства равнобедренного треугольника и показать их применение на практике.

А
В
М
Медиана треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
С
СМ = МВ
АМ – медиана треугольника

Медиана треугольника
Медиана-обезьяна,
У которой зоркий глаз,
Прыгнет точно в
Середину
Стороны против
вершины,

На каком рисунке изображена медиана треугольника?
1
2
3

Медианы в треугольнике
В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.
Точку пересечения медиан (в физике) принято называть центром тяжести.

А
В
А
Биссектриса треугольника
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
С
1
АА1 – биссектриса треугольника

Биссектриса треугольника
Биссектриса – это крыса,
Которая бегает по углам
И делит угол пополам.

На каком рисунке изображена биссектриса?
1
2
3

Биссектрисы в треугольнике
В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.
Точка пересечения биссектрис треугольника есть центр вписанной в треугольник окружности.

А
В
Н
Высота треугольника
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
С
АН – высота треугольника
АН ⊥ СВ

Высота треугольника
Высота похожа на кота,
Который выгнул спину,
И под прямым углом
Соединяет вершину
И сторону хвостом.

На каком рисунке изображена высота?
1
2
3

Высоты в треугольнике

В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.
Высоты в треугольнике
Точку пересечения высот называют ортоцентром.

Повторение основных понятий
Тест
1. Заполните пропуски в формулировках элементов треугольника и свойств геометрических фигур.
а) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
_______________________________________, называется
_______________________треугольника.
медианой
противоположной стороны

б) Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону, называется______________.
в). Отрезок __________________угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противополо-женной стороны, называется _________________________________.
биссектрисы
высотой
биссектрисой треугольника

2. Верны ли следующие утверждения? а).В любом треугольнике можно провести три медианы. ____
б) Точка пересечения высот любого треугольника лежит внутри треугольника. _____
в) Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке._______
нет
да
да

Определение равнобедренного треугольника
Определение 1
Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным.
Равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника
основание
Боковая сторона
Боковая сторона

Назовите основание и боковые стороны треугольника

Практическая работа
Соединить боковые стороны равнобедренного треугольника, линию сгиба зафиксировать.
Какие получились треугольники?

Две геометрические фигуры называются равными, если они
совпали при наложении.

Исследуйте треугольники: найдите равные углы
В
Д
А
С

Свойство 1. Углы при основании равны
В
А
С

Практическая работа
Исследуйте треугольники: найдите равные стороны
1 .Может ли линия сгиба являться медианой данного треугольника?
2. Может ли линия сгиба являться биссектрисой данного треугольника?
3. Может ли линия сгиба являться высотой данного треугольника?
Сделайте выводы.

Свойство 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
В
Д
А
С

1.ВД=ДС, АД-
;
2. , АД-
;
3. , АД-
.
биссектриса
:
1
2
3
4
A
C
D
B
медиана
высота
Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника
- углы при
:
1
2
A
C
D
B
основании
равнобедренного треугольника

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
∠А =∠А1
А
В
С
А1
В1
С1
Первый признак равенства треугольников
Если
, .,
то Δ АВС = Δ А1В1С1
АВ = А1В1
( по двум сторонам и углу между ними)
, АС = А1С1

Доказательство:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
Дано: ΔАВС – равнобедренный, АС – основание
Доказать: ∠А =∠С
∠АВС
1.Проведем биссектрису ВД угла____ .
2.. Рассмотрим ΔАВD и ΔСВD:
(С) а). ВД - сторона;
(У) б). ∠АВД= , т.к. ВД- ;
(С)в). АВ= , т.к. ΔАВС – ;
Значит, ΔАВD ΔСВD (по двум сторонам и
)
3. В равных треугольниках против равных сторон лежат
Значит, ∠А=
Что и требовалось доказать
Д
общая
равнобедренный
∠ СВД
биссектриса
ВС
равные углы
углу между ними
=
∠С.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
ΔАВD= ΔСВD (по двум сторонам и углу между нами: АВ=ВС, ВD-общая, ∠АВD=∠СВD)
ΔАВD= ΔСВD ⇒ АD=DC ⇒ D – середина АС ⇒ ВD – медиана
ΔАВD= ΔСВD ⇒ ∠3=∠4 и ∠3 и ∠4 – смежные ⇒ ∠3 и ∠4 – прямые ⇒ВD⊥АС ⇒ ВD – высота
Теорема доказана
Доказательство:
т

Решение задач
Найдите угол KBA.
ےKBA = 70°
ےKBA = 40°
ےKBA = 110°
1
2 3

Решение задач
Найдите угол KBA.
ےKBA = 70°
ےKBA = 100°
ےKBA = 90°
4
5
6

Определение 2
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним

Выводы:
У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
Не всякая биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой, а только та, которая проведена из вершины к основанию.