Сфера, шар основные характеристики презентация

Окружность и круг
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки.
r – радиус;
d – диаметр

Определение сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (центра т.О).
Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра.
т. О – центр сферы
О
D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр.
D = 2R
R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

Шар
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Как изобразить сферу?
R
1. Отметить центр сферы (т.О)
2. Начертить окружность с центром в т.О
3. Изобразить видимую вертикальную дугу (меридиан)
4. Изобразить невидимую вертикальную дугу
5. Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель)
6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу
7. Провести радиус сферы R
О

Уравнение сферы
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
R
МС = R , или МС2 = R2
следовательно уравнение
сферы имеет вид:
уравнение окружности имеет вид:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2
М
М(х;у;z),
C
C(x0;y0;z0)

Задача
Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы.
Решение
так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид (х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5, то уравнение данной сферы (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25
Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

Взаимное расположение окружности и прямой
r
d
Если d < r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки.
d= r
d> r
Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку.
Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек.
Возможны 3 случая

Сечение шара плоскостью есть круг.
r
Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим 1 случай d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r.
r = R2 - d2
М
С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной. Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.
d

d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку
Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим 2 случай
d

d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим 3 случай
d

Задача.
Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения.
Дано:
Шар с центром в т.О
R=41 дм
α - секущая плоскость
d = 9 дм
Найти: rсеч = ?
Решение:
Рассмотрим ∆ОМК – прямоугольный
ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r, r = R2 - d2
по теореме Пифагора: МК2 = r2 = 412- 92 = 1681 - 81=1600 отсюда rсеч = 40 дм
Ответ: rсеч = 40 дм
r

Свойство касательной.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Планиметрия
Стереометрия
А
В
Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Признак касательной.
Планиметрия
Стереометрия
r
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательно к сфере.
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
касательная
касательная пл.

№ 592 Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
А
112
О
ВN – искомое расстояние

O
B
М
N
C
P
A
O1
C
A
B
№ 584 Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см.

Площадь сферы
Площадь сферы радиуса R: Sсф=4πR2
Сферу нельзя развернуть на плоскость.
Опишем около сферы многогранник, так чтобы сфера касалась всех его граней.
За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани
т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга
Sшара=4 Sкруга

Задача
Найти площадь поверхности сферы,
радиус которой = 8 см.
Дано:
сфера
R = 8 см
Найти:
Sсф = ?
Решение:
Sсф = 4πR2
Sсф = 4π 82 = 256π см2
Ответ: Sсф = 256π см2

Объем шара
Vшара = 4/3ПR2

Объём шарового сегмента и шарового слоя
Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.
Шаровой слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.
Vш. сегмента=Пh2(R- 1/3h)
Vш. слоя=Vш.сег.1-Vш.сег.2
Основание сегмента
Высота сегмента (h)
Шаровой слой