Свойства прямой и обратной функций презентация

⟹
⟹
монотонная;

Если функция у = f(х), х ∈ Х принимает любое свое значение только в одной точке множества Х, то функцию называют обратимой.

х0: у0=f(х0);

у = g(х)
у = g(х) – необратима;
у0 = g(х1);
у0 = g(х2);
у0 = g(х3);

Теорема.
Если функция y = f(x), х ∈ Х монотонна на множестве Х, то она обратима.
Доказательство.
y = f(x) – возрастает;
х1≠ х2;
х1< х2;
f(х1) < f(х2);
y = f(x)

y = f(x) – обратимая функция;
x = f –1(y) – обратная функция;
определена на множестве Х;
определена на множестве Y;
Е(f) = Y;
Е(f) = X;

1. Область определения функции у = f(х):
Х является областью значений функции x = f -1(y).
Свойства прямой и обратной функций:
2. Область значения функции у = f(x):
Y является областью определения функции x = f -1(y).
3. Если функция у = f(х) возрастает (убывает) на множестве Х,
то функция x = f -1(y) возрастает (убывает) на множестве У,
где У – область значений функции у = f(х).

у = f(х) – возрастающая функция;
у1 =f(х1) ; у2 = f(х2) ; х1 < х2 – единственные;
х1 ≥ х2;
f(х1) ≥ f(х2) ;
у1≥ у2;
у =f(х)– возрастающая;
у1< у2;
х1 < х2;
x = f -1(y) возрастает на У;
⟹
⟹

Пример 1. Показать, что для функции y = 3x – 2 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.
Решение.
Линейная функция y = 3x – 2, E(f) = R;
x2>x1
3x2>3x1
3x2 –2 > 3x1 –2
y2 > y1
у0: 3х – 2 = у0
х0=
у0 и х0 – единственная пара;
y = 3x – 2 – обратима;
⟹
⟹
⟹
y = 3x – 2 – возрастающая;
⟹

Решение.
y = x²— квадратичная функция;
D(у) = R;
возрастает на [0;∞);
убывает на (-∞;0];
на промежутке [0;∞) – монотонна;
x² = у;

Пример 3. Найти обратную функцию к функции у = х3.
Решение.
D(у) = R;

монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции.
Но оно не является необходимым условием.
Замечание: