Вписанная в треугольник окружность презентация

Вписанная окружность
Задача:
В данный треугольник
вписать окружность.

Вписанная окружность
Из данных рисунков выберете те, на которых, по вашему мнению, изображена вписанная окружность:
д)
б)
в)
г)
е)
ж)
а)
з)

Вписанная окружность
Определение:
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Вписанная окружность
Из данных рисунков выберете те, на которых, по вашему мнению, изображена вписанная окружность:
д)
б)
в)
г)
е)
ж)
з)

Вписанная окружность
Как вписать окружность в треугольник?
Центр?
Радиус?
А
В
С

Вписанная окружность
Предположим, что вписали окружность.

Вписанная окружность
О
Проведем радиусы в точки касания.

Вписанная окружность
О

Вписанная окружность
О

Вписанная окружность
О
АО - биссектриса угла А
ВО - биссектриса угла В
СО - биссектриса угла С

Вписанная окружность
Таким образом,
центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника,
радиус – это расстояние от центра окружности до сторон треугольника.

Вписанная окружность
Для того, чтобы вписать окружность в треугольник, надо:
1). Найти точку пересечения биссектрис треугольника (центр окружности);
2). Опустить перпендикуляры из центра окружности к сторонам треугольника (радиус окружности);
3). Провести окружность.

Вписанная окружность

Вписанная окружность
Проведение биссектрисы угла А.

Вписанная окружность
Проведение биссектрисы угла В.

Вписанная окружность
Проведение биссектрисы угла С.

Вписанная окружность
Точка О - центр вписанной окружности.
О

Вписанная окружность
Перпендикуляр из точки О к стороне АС.

Вписанная окружность
Перпендикуляр из точки О к стороне АВ.

Вписанная окружность
Перпендикуляр из точки О к стороне ВС.

Вписанная окружность
Окружность (О, r) – искомая.
r

Вписанная окружность
Теорема.
В любой треугольник можно вписать окружность и при том только одну.

Теорема. В треугольник можно вписать окружность,
и притом только одну.
Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказать: существует Окр.(О;r),
вписанная в треугольник
Доказательство:
Проведём биссектрисы треугольника:АА1, ВВ1, СС1.
По свойству (замечательная точка треугольника)
биссектрисы пересекаются в одной точке – О,
и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е :

треугольник
касаются
стороны
все
а
вписанная
д
а
д
ЗАДАЧА 1

Задача 2
ОКРУЖНОСТИ
ТОЧКИ
СH
АМ
HB+BT+AT
BT
3
6
MC+СH
2
3+6
28

ЗАДАЧА 3
КАСАНИЯ
АС
ВЫСОТА
ТРЕУГОЛЬНИКА
ВЫСОТА
АОВ
ОЕ
АС·OH
ОH
ОМ
ОМ
AC· r
BС
r
60·4
120

№ 691
Дано:
АС-основание
Точки K, N, D –точки
касания.
ВК = 4 cm
КА = 3 cm
Найти
А
D
С
В
O
K
N

Важная формула
Доказать:SABC = p · r
Доказательство:
Эти радиусы являются
высотами треугольников АОВ, ВОС, СОА.
соединим центр окружности с вершинами
треугольника и проведём радиусы
окружности в точки касания.
SABC = SAOB +SBOC + SAOC = ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r =
= ½ (AB + BC + AC) · r = ½ p · r.

Задача: в равносторонний треугольник со стороной 4 см
вписана окружность. Найдите её радиус.
P = ½ ·4 · 3 = ½ · 12 = 6(см) - полупериметр
Решение:

S = p · r = ½ P · r = ½ (a + b + c) · r
2S = (a + b + c) · r
Вывод формулы для радиуса
вписанной в треугольник окружности

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность,
гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см.
Найдите радиус вписанной окружности.
Решение:
АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)
По теореме Пифагора: АС2 + ВС2 = АВ2
,
АС= 6+ r, ВС = 4 + r
(6 + r)2 + (4 + r)2 = 102
Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см
Ответ: 2 см