Выпуклый многоугольник презентация

Домашнее задание

Найдите АС:
В
С
А
D
45º
АВСD - ромб
1.

Найдите АС:
В
С
А
D
45º
АВСD - ромб

Найдите АС:
В
С
А
D
60º
АВСD - параллелограмм
30º
2.

Найдите АС:
В
С
А
D
60º
АВСD - параллелограмм
30º

Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Правильный многоугольник
Правильный
треугольник
Квадрат
Правильный
пятиугольник
Правильный
шестиугольник
Выпуклый многоугольник называется правильным , если у него все стороны равны и все углы равны.

Сумма углов выпуклого
n – угольника
А1
Аn
А4
А3
А2
Проведём диагонали из одной точки.
Количество треугольников (n − 2), сумма углов каждого равна 180о.
Сумма углов выпуклого
n-угольника равна 180о· (n − 2)
Аn-1
…

Сумма углов правильного n-угольника
Угол правильного n-угольника

Вписанная окружность
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
О

Описанная окружность
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружности.
О

Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника
А1
Аn -1
А3
А2
Аn
…
А4
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
О

Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник
А2
А1
Аn -1
А3
Аn
…
А4
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
О

О
R
r
Следствие 2
Центр окружности описанной
около правильного
многоугольника, совпадает с центром окружности
вписанной в тот же
многоугольник.
Следствие1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник,
касается сторон
многоугольника
в их серединах.
О – центр правильного многоугольника

Задачи
на построение
ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Построение правильного шестиугольника, сторона которого равна данному отрезку.
1. Построить окружность с радиусом, равным PQ.
2. Отметить на окружности
произвольную точку А1.
3. Т.к. R = PQ, а6 = R, то отметим на
окружности точки А1, А2, А3, А4, А5,
А6 так, чтобы
А1А2 = А2А3 = А3А4 = А4А5 = А5А6.
4. Последовательно соединить
отрезками полученные точки.
P
Q
А1
А2
А3
А1А2А3А4А5А6 – искомый шестиугольник.
А4
А5
А6

Задача.
Как, используя правильный шестиугольник построить правильный треугольник?
А1
А2
А3
А4
А5
А6
1. Построим правильный
шестиугольник.
2. Соединим точки через
одну: А1, А3, А5.
3. А1А3А5 – искомый
правильный треугольник.

Задача.
Как, используя правильный шестиугольник построить правильный двенадцатиугольник?
Провести высоты треугольников до пересечения с окружностью.
2. Разделить дуги пополам точками В1, В2, В3, В4, В5, В6.
А1
А2
А3
А4
А5
А6
В1
В4
В2
В5
В3
В6
А1В1А2В2А3В3А4В4А5В5А6В6 –
искомый двенадцатиугольник.

Ап
А1
А2
О
Н1
План построения правильного
2п-угольника из имеющегося п-угольника.
Провести биссектрисы
углов правильного п-угольника.
Точка пересечения биссектрис О
будет являться центром
описанной окружности.
Построить эту окружность.
Н2
Из точки О провести
перпендикуляры к сторонам
правильного п-угольника до
пересечения с окружностью.
Соединить последовательно вершины правильного
п-угольника с полученными точками пересечения.
Полученный многоугольник – искомый правильный
2п-угольник.

Домашнее задание
Радиус окружности, описанной около квадрата,
равен 4√3 см. Найдите сторону квадрата и радиус
вписанной в него окружности.
2. Радиус окружности, вписанной в правильный
шестиугольник, равен 4√3 см. Найдите сторону
шестиугольника и радиус описанной около него
окружности.
Найдите углы правильного n- угольника, если:
а) n=3; б) n=5; в) n=10; г) n=18.
4. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а)60о; б) 135о; в) 150о.