Комплексные числа и последовательности комплексных чисел. Лекция № 1 презентация

Содержание

Слайд 2

Лекция № 1 §1. Комплексные числа и последовательности комплексных чисел.

Лекция № 1
§1. Комплексные числа и
последовательности комплексных
чисел.

п. 1. Понятие

комплексного числа.
Геометрическая интерпретация.
Слайд 3

Немного истории Комплексные числа вошли в математику в XVI в.

Немного истории

Комплексные числа вошли в математику в XVI в. как

корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом.
Слайд 4

Как понимать? Что делать?

Как понимать?

Что делать?

Слайд 5

Вначале такие корни отбрасывались, как «невозможные», «мнимые», и появление их

Вначале такие корни отбрасывались, как «невозможные», «мнимые», и появление их считалось

признаком отсутствия решения у задачи, приведшей к квадратному уравнению.
Слайд 6

Обоснование: мнимые корни не выражают величины, так как их нельзя

Обоснование: мнимые корни не выражают величины, так как их нельзя сравнивать

друг с другом, нельзя сказать, какоe мнимое больше, какое меньше.
Слайд 7

Однако позже было обнаружено, что над ними можно производить четыре

Однако позже было обнаружено, что над ними можно производить четыре алгебраических

действия, причем сохраняются свойства, присущие действиям над действительными числами.
Слайд 8

Это и послужило основанием называть мнимые корни числами («Алгебра» итальянского инженера Р. Бомбелли, 1572 г.).

Это и послужило основанием называть мнимые корни числами
(«Алгебра» итальянского инженера

Р. Бомбелли, 1572 г.).
Слайд 9

Геометрическое изображение комплексных чисел в виде точек или векторов "на

Геометрическое изображение комплексных чисел в виде точек или векторов "на плоскости"

было введено в 1799 г. датским землемером
К. Весселем (1745—1818)
и несколько позже, в 1806 г., французским математиком
Д. Арганом (1768—1822).
Слайд 10

Символ i для мнимой единицы ввел в 1777 г. Л.

Символ i для мнимой единицы ввел в 1777 г. Л. Эйлер

(1707— 1783).

Термин «комплексное число» ввел в 1881 г. К. Вейерштрасс (1815— 1897).

Слайд 11

Большое значение в раскрытии важной роли комплексных чисел в математике

Большое значение в раскрытии важной роли комплексных чисел в математике имели

работы Л. Эйлера и К. Гаусса (1777—1855), а также теорема Даламбера (1717—1783) о том, что любое алгебраическое уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней.
Слайд 12

До появления этой теоремы можно было бы ожидать, что, подобно

До появления этой теоремы можно было бы ожидать, что, подобно тому

как квадратное уравнение привело к комплексным числам, попытки решения уравнений степеней п = 3, 4, ..., приведут к появлению все новых и новых типов чисел.
Слайд 13

Геометрическое изображение комплексного числа как точки или вектора на плоскости,

Геометрическое изображение комплексного числа как точки или вектора на плоскости, естественно,

приводит к мысли построить дальнейшие обобщения понятия о числе.
Слайд 14

Однако поиски числовой системы, зависящей от трех единиц: 1, i,

Однако поиски числовой системы, зависящей от трех единиц: 1, i, j,

геометрически изображаемой с помощью точек или векторов 3-мерного пространства, не увенчались успехом: не удавалось так придумать правила действий над новыми «числами», чтобы сохранились обычные их свойства.
Слайд 15

В 1843 т. английский математик У. Гамильтон (1805—1865) показал, что

В 1843 т. английский математик
У. Гамильтон (1805—1865) показал, что можно

построить числовые системы, зависящие от четырех единиц: 1, i, j, k, если поступиться одним свойством — переместительным законом умножения.
Слайд 16

Вообще, гиперкомплексными числами ранга п называются «числа» вида — единицы,

Вообще, гиперкомплексными числами ранга п называются «числа» вида

— единицы,

—действительные числа,


когда указаны правила алгебраических действий с такими «числами».

Слайд 17

Однако К. Вейерштрасс показал, что при п > 2 нельзя

Однако К. Вейерштрасс показал, что при п > 2 нельзя сохранить

все свойства, присущие алгебраическим действиям над действительными и комплексными числами.
Слайд 18

Немецкий математик Ф. Фробениус (1849—1917) доказал, что, даже отказавшись от

Немецкий математик Ф. Фробениус (1849—1917) доказал, что, даже отказавшись от переместительного

закона умножения, можно сохранить остальные свойства алгебраических действий дополнительно лишь для п = 4,
а при ,
как бы не вводилось правило умножения, всегда будут пары отличных от нуля гиперкомплексных чисел, произведение которых равно нулю.
Слайд 19

-вектор Определим операцию сложения: операцию умножения на число: базис Рассмотрим плоскость R2.

-вектор

Определим

операцию сложения:

операцию умножения на число:

базис

Рассмотрим плоскость R2.

Слайд 20

Как ввести сохранив (1) и (2) ? Вектор 1– единица операции умножения. Определим Т.к. то полагают

Как ввести

сохранив (1) и (2) ?

Вектор 1– единица операции умножения.

Определим

Т.к.

то

полагают

Слайд 21

Правило умножения Def. Числовая плоскость называется комплексной плоскостью C, если

Правило умножения

Def. Числовая плоскость

называется

комплексной плоскостью C, если для ее точек
определены

модули (1), операции сложения (2)
и умножения (6).

Точки комплексной плоскости С называются
комплексными числами.

Слайд 22

Действительные числа включаются в множество комплексных чисел. a=(a,0)-вещественное число, -1=(-1,

Действительные числа включаются в множество комплексных чисел.

a=(a,0)-вещественное число,

-1=(-1, 0),


i =(0, 1)- мнимая единица,

ib= (0, b)-чисто мнимое число,

0=(0, 0),

1=(1, 0),

-i=(0, -1).

упорядоченная пара вещественных чисел.

Равенство.

Алгебраическая форма записи.

Слайд 23

Деление. Комплексное сопряжение.

Деление.

Комплексное сопряжение.

Слайд 24

Примеры.

Примеры.

Слайд 25

Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости. Im z=0 Re z=0

Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости.

Im z=0

Re z=0

Слайд 26

Слайд 27

Модуль и аргумент комплексного числа Полярные координаты (x,y)↔(r,ϕ). Модуль комплексного

Модуль и аргумент комплексного числа

Полярные координаты

(x,y)↔(r,ϕ).

Модуль комплексного числа:

Аргумент комплексного числа:


Главное значение аргумента.

Слайд 28

-разрез по - PC Soft -разрез по -литература Примеры. — не определен!

-разрез по

- PC Soft

-разрез по

-литература

Примеры.

— не определен!

Слайд 29

Тригонометрическая форма записи формула Эйлера: Показательная форма записи Теорема. Пусть тогда

Тригонометрическая форма записи

формула Эйлера:

Показательная форма записи

Теорема. Пусть

тогда

Слайд 30

Примеры.

Примеры.

Слайд 31

Вопрос. Умножение и деление в показательной форме. Формула Муавра.

Вопрос.

Умножение и деление в показательной форме.

Формула Муавра.

Слайд 32

Извлечение корня. Корень n-той степени из комплексного числа принимает n различных значений.

Извлечение корня.

Корень n-той степени из комплексного числа
принимает n различных значений.

Слайд 33

Примеры.

Примеры.

Слайд 34

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Операция сравнения в С не определена. Множество комплексных чисел C

Операция сравнения в С не определена.

Множество комплексных чисел C образует

поле.

Поле С не является упорядоченным.

В упорядоченном поле P

В поле С

но

Утверждение

неверно.

Модуль

удовлетворяет

аксиомам норм.

Слайд 38

Неравенства треугольника. Упорядоченная четверка является нормированным векторным пространством над полем

Неравенства треугольника.

Упорядоченная четверка

является нормированным векторным
пространством над полем R. Оно превратится

в

метрическое пространство, если

ввести метрику по формуле

Из теоремы Фробениуса следует, что поле С
является «максимальным» числовым полем
и дальнейшее расширение понятия числа
невозможно.

Слайд 39

Некоторые простейшие множества точек на комплексной плоскости.

Некоторые простейшие множества точек
на комплексной плоскости.

Слайд 40

Имя файла: Комплексные-числа-и-последовательности-комплексных-чисел.-Лекция-№-1.pptx
Количество просмотров: 70
Количество скачиваний: 0