Содержание
- 2. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m
- 3. Обозначение: где i=1,2…m j=1,2…n - матрица размерности m x n - элемент матрицы i –ой строки
- 4. матрица размерности m x n
- 5. Две матрицы называются равными, если у них одинаковая размерность и совпадают строки и столбцы. Если число
- 6. Пример: - квадратная матрица размерности 3х3
- 7. Элементы матрицы aij , у которых номер столбца совпадает с номером строки, называются диагональными. Если в
- 8. единичная матрица
- 9. Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0. нулевая матрица
- 10. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой. матрица-строка
- 11. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом. матрица-столбец
- 12. Распределение ресурсов по отраслям экономики: С помощью матриц удобно описывать различного рода зависимости. Например:
- 13. Эту зависимость можно представить в виде матрицы: Где элемент aij показывает сколько i – го ресурса
- 14. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ 1. Умножение матрицы на число Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент
- 15. Пусть дана матрица Умножаем ее на число λ: Где каждый элемент матрицы В: Где:
- 16. Например: Умножая матрицу на число 2, получим:
- 17. 2. Сложение матриц Складываются матрицы одинаковой размерности. Получается матрица той же размерности, каждый элемент которой равен
- 18. Пусть даны матрицы Складываем их: Где каждый элемент матрицы С: Аналогично проводится вычитание матриц.
- 19. Пример. Найти сумму и разность матриц:
- 20. Решение:
- 21. 3. Умножение матриц Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда
- 22. Пусть даны матрицы Умножаем их: Где каждый элемент матрицы С:
- 23. Пример. Найти произведение матриц:
- 24. Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует: Решение:
- 25. Теперь перемножим матрицы в обратном порядке: Умножение матриц в общем случае некоммутативно:
- 26. Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами: А+В=В+А (А+В)+С=А+(В+С) 1 2
- 27. λ(А+В)= λА+λВ А(В+С)=АВ+АС А(ВС)=(АВ)С 3 4 5
- 28. 4. Транспонирование матриц Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если в ней поменяли местами строки
- 29. (АТ)Т=А (А+В)Т=АТ+ВТ свойства операции траспонирования: 1 2
- 30. (λА)Т= λАТ (АВ)Т=ВТАТ 3 4
- 31. Пример. Транспонировать матрицу:
- 32. Решение:
- 33. Определители. Свойства определителей.
- 34. Определителем (детерминантом) матрицы n-го порядка называется число:
- 37. Правило Сарруса:
- 38. Правило треугольника: « + » « - »
- 39. Примеры:
- 40. Примеры:
- 41. Примеры:
- 42. Свойства определителей. 1. Определитель не изменится, если его транспонировать:
- 43. 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель изменит свой знак на противоположный.
- 44. 3. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя.
- 46. 4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
- 47. 5. Если все элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
- 48. 6. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен
- 51. 7. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца) ,
- 52. ×2 +
- 53. 8. Треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.
- 54. Привести определитель к треугольному виду и вычислить его: ×(-2) ×(-5) = +
- 55. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Минором Mij элемента aij det D называется такой новый
- 57. Для данного определителя найти миноры: М22, М31,М43
- 58. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij det D называется минор Mij этого элемента, взятый со знаком т.е.
- 60. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю.
- 61. разложение по i-ой строке: разложение по j-му столбцу:
- 62. Разложить данный определитель по элементам: 1) 3-ей строки; 2) 1-го столбца.
- 63. 1) Разложим данный определитель по элементам 3-ей строки:
- 65. 2) Разложим данный определитель по элементам 1-го столбца:
- 67. Основные методы вычисления определителя. 1. разложение определителя по элементам строки или столбца; 2. метод эффективного понижения
- 68. Метод эффективного понижения порядка: Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению одного определителя (n-1)-го порядка, сделав
- 69. ×(-3) ×(-1)
- 71. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду. ×(-3) ×(-1)
- 72. ×2 +
- 73. ×(-2)
- 74. Обратная Матрица
- 75. Определение. Матрица называется о б р а т н о й к квадратной матрице , если
- 76. Определение. Матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов исходной матрицы , называется с о ю з
- 77. Формула для нахождения обратной матрицы
- 79. Алгоритм нахождения 1. Находим определитель матрицы А. Он должен быть отличен от нуля. 2. Находим алгебраические
- 80. Пример. Найти матрицу, обратную к матрице:
- 81. Р е ш е н и е. Действуем по алгоритму: 1. Находим определитель матрицы: Определитель отличен
- 82. 2. Находим алгебраические дополнения:
- 84. 3. Составляем союзную матрицу:
- 85. 4. Записываем обратную матрицу по формуле
- 86. 5. Проверка Воспользуемся определением обратной матрицы и найдем произведение
- 87. Задача. Найти матрицу, обратную к данной
- 88. 1. Находим определитель
- 89. 2. Алгебраические дополнения для первой строки:
- 90. Алгебраические дополнения для второй строки:
- 91. Алгебраические дополнения для третьей строки:
- 92. Обратная матрица:
- 93. Элементарные преобразования матриц перестановка строк (столбцов) местами; исключение из матрицы строк (столбцов), состоящих из нулей; умножение
- 95. Скачать презентацию