Множества и операции над ними презентация

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое».
Основоположник теории множеств,
немецкий математик
Георг Кантор
(1845-1918)

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики.
Множество – совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.
Примеры множеств:
- множество студентов в данной аудитории;
- множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;
- множество точек данной геометрической фигуры;
- множество чётных чисел;
- множество корней уравнения 5х+6=0.

Множество букв – это…
Множество коров – это…
Множество кораблей – это…
Множество деревьев – это…
АЛФАВИТ
СТАДО
ФЛОТ
ЛЕС
Назовите множества, изображенные на рисунках

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.
Множество обычно обозначают большими латинскими буквами (A, B, C, …), а элементы множества − малыми латинскими буквам (a, b, c, …).

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа.
Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения: N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел; Q - множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел.

Прочитать следующие высказывания
и указать среди них истинные:

Поставьте вместо звездочки знак так, чтобы получить правильное утверждение:
1) 5 * N; 2) –5 * Q; 3) 3,14 * Q; 4) 2 * R;
5) 0 * N; 6) − 12 * Z; 7) π * Q

Слово «множество» используется для любого количества элементов, то есть множество может содержать как конечное, так и бесконечное число элементов.
Пример:
Во множестве дней недели 7 элементов;
Во множестве естественных спутников Земли 1 элемент;
Во множестве целых чисел бесконечное множество элементов.
Во множестве людей на Солнце нет элементов.

Способы задания множества
Перечисление элементов множества
Указание характеристического свойства
(которым обладают все элементы множества)

Определение: Характеристическим свойством называется свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один объект, не принадлежащий этому множеству.
Обозначение: Р(х) − характеристическое свойство элементов данного множества А, то есть
− « А − множество всех х, таких что Р(х)».

Задайте перечислением элементов множество:
1) A = {x | x N, 2x – 1 = 0};
2) B = {x | x Z, | x | < 3};
3) C = {x | x N, x ≤ 15, x = 7k, k Z}.

Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В.

Отношения включения и принадлежности
не одно и то же.
а ∈ А − а элемент множества А;
{ а} ⊂ А − { а} подмножество множества А.

Среди всех множеств выделяется пустое множество, которое не содержит ни одного элемента.
Пустое множество включено в любое множество, в том числе и в себя.
∅ ⊂ А; ∅ ⊂ ∅; А⊂ А.

Множество U, содержащее все возможные элементы, обладающие некоторым признаком, называется универсальным.
Универсальное множество
Пример:
А − множество треугольников, В − множество прямоугольников,
С − множество шестиугольников, тогда U − множество многоугольников.
А − множество преподавателей университета, В − множество студентов университета, С − множество спортсменов университета, тогда U − весь коллектив университета.
N − множество натуральных чисел, Z − множество целых чисел, Q − множество рациональных чисел, тогда U = R − множество действительных чисел.

Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна).
Леонард Эйлер
(1707 – 1783г.)
Диаграммы Эйлера-Венна –
геометрические представления множеств, где множества изображаются в виде совокупностей точек на плоскости ограниченных некоторой замкнутой кривой, а универсальное множество – в виде большого прямоугольника.
a, b ∈ A
d, e ∉ A
Диаграммы Эйлера-Венна

Если у множеств нет общих элементов, то эти множества изображаются непересекающимися областями:
Если у множеств есть одинаковые элементы, то у областей тоже есть общая часть:
Если множество включено в другое множество, то на диаграмме Эйлера-Венна одна область целиком лежит в другой области:
Если множества равны, то они изображаются одним кругом:

Операции над множествами

Операции над множествами
Объединением множеств A и B (A∪B) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
Пример. {1,2,3} ∪ {2,3,4} = {1,2,3,4}.
Пример. Даны два множества А={1,2,4,6} B={0,3,4,6}. Найти С=А∪B.
C={0,1,2,3,4,6}
A∪B = {x| x∈A или x∈B}

Пересечением множеств A и В называется множество (А∩В), состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.
Пример. {1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}
Пример. Даны два множества А={1,2,4,6} B={0,3,4,6}. Найти С=А ∩ B.
С={4,6}
Операции над множествами
А∩В = {x| x∈A и x∈B}

Операции над множествами
Разностью множеств A и B (A\B) называется множество всех элементов множества A, которые не содержатся в B.
Пример. {1,2,3} \ {2,3,4} = {1}.
Пример. Даны два множества
А={1,2,4,6} и B={0,3,4,6}. Найти С=А \ B.
C={1,2}
A\B= {x| x∈A и x∉B}

Операции над множествами
Дополнением (до U) множества А ( А ) называется множество всех элементов, не принадлежащих множеству А, но принадлежащих универсальному множеству.
A={x| x ∉A и x∈U}
Пример. Пусть A = {1,2,4,5}, U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Тогда A=U\A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} \ {1,2,4,5} = {3,6,7,8,9}

Свойства операций над множествами
1) Коммутативность:
2) Ассоциативность:

Свойства операций над множествами
3) Дистрибутивность:

Свойства операций над множествами

Свойства операций над множествами

Свойства операций над множествами
12) Законы поглощения:
13) Законы де Моргана: