Слайд 2
![ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ 5. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей тел вращения.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-1.jpg)
ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ
5. Вычисление объемов тел и площадей поверхностей тел вращения.
Слайд 3
![ЛИТЕРАТУРА [1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-2.jpg)
ЛИТЕРАТУРА
[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс,
2004. с. 340-375;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004.. с. 229-250;
[14] Л.К. Потеряева, Г.А. Таратута. Курс высшей математики IV. Челябинск: Челябинский военный авиационный краснознамённый институт штурманов, 2002 г.с. 80-94.
Слайд 4
![Вычисление объемов тел вращения Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-3.jpg)
Вычисление объемов тел вращения
Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна
на отрезке [a;b]. Тогда тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), имеет объем V, который может быть найден по формуле:
Слайд 5
![Доказательство. Разобьем отрезок [a;b] точками a=x0,x1,…,x i-1,xi,…,xn=b на n частей;](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-4.jpg)
Доказательство. Разобьем отрезок [a;b] точками a=x0,x1,…,x i-1,xi,…,xn=b на n частей;
причем xi- x i-1 = Δxi , обозначим λ=max Δxi .
Слайд 6
![На каждом из частичных отрезков [xi-1 ; xi] выберем произвольно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-5.jpg)
На каждом из частичных отрезков [xi-1 ; xi] выберем произвольно точку
сi ; а также на каждом частичном отрезке [xi-1 ; xi] построим прямоугольник, который при вращении вокруг оси Ox опишет цилиндр с высотой Δx i и радиусом основания f(ci), объем которого
ΔVi= π∙f 2(сi)∙Δxi.
Слайд 7
![Найдем объем соответствующего ступенчатого тела, составив интегральную сумму Для непрерывной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-6.jpg)
Найдем объем соответствующего ступенчатого тела, составив интегральную сумму
Для непрерывной
функции f(x) предел интегральной суммы существует при λ→0 (n→∞) и равен объему рассматриваемого тела вращения
Слайд 8
![Таким образом, что и требовалось доказать](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-7.jpg)
Таким образом,
что и требовалось доказать
Слайд 9
![Пример. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-8.jpg)
Пример.
Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной
линиями y=ex, x=1 и осями координат .
Решение.
Слайд 10
![Фигура, ограниченная данными линиями, является криволинейной трапецией, поэтому получим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-9.jpg)
Фигура, ограниченная данными линиями, является криволинейной трапецией, поэтому получим
Слайд 11
![Пример. Найти объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-10.jpg)
Пример. Найти объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной прямой
и кривой , вокруг оси Оу.
Слайд 12
![Площадь поверхности вращения Пусть дана поверхность, образованная вращением дуги линии](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-11.jpg)
Площадь поверхности вращения
Пусть дана поверхность, образованная вращением дуги линии
y=f(x), a≤x≤b, относительно оси Ox.
Предположим, что на отрезке [a;b] функция y=f(x) и её производная f´(x) непрерывны и, кроме того,
f(x) ≥0. Тогда площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле
Слайд 13
![Пример. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Решение. Можно считать,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-12.jpg)
Пример. Найти площадь поверхности шара
радиуса R.
Решение. Можно считать, что поверхность
шара образована вращением полуокружности , -R≤x≤R, вокруг оси Ox. По формуле находим
Слайд 14
![Площадь поверхности вращения кривой, заданной параметрическими уравнениями можно вычислить по формуле](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-13.jpg)
Площадь поверхности вращения кривой, заданной параметрическими уравнениями
можно вычислить по
формуле
Слайд 15
![Площадь поверхности вращения кривой, заданной в полярной системе координат уравнением , можно вычислить по формуле](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/47945/slide-14.jpg)
Площадь поверхности вращения кривой, заданной в полярной системе координат уравнением
,
можно вычислить по формуле