Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла презентация

ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ
1. Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-Лейбница.
2. Вычисление определённого интеграла заменой переменной и по частям.

ЛИТЕРАТУРА
[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004. с. 340-375;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004.. с. 253-266;
[14] Л.К. Потеряева, Г.А. Таратута. Курс высшей математики IV. Челябинск: Челябинский военный авиационный краснознамённый институт штурманов, 2002 г.с. 68-80.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-Лейбница.

ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ, ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Пусть y=f(x) – функция непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она интегрируема на этом отрезке и более того, она интегрируема на любом отрезке [a,x], где x∈[a,b] .
Пусть нижний предел интегрирования a закреплен, а верхний предел интегрирования b – меняется.
Рассмотрим функцию
(1)
- интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], тогда функция
непрерывна и имеет производную на отрезке [a,b]

Доказательство. Дадим аргументу x приращение Δx.
Тогда приращение функции Ф(x) будет

К последнему интегралу применим теорему о среднем значении функции на отрезке [x, x+∆x], получим:
то есть
Согласно определению производной

Но так как Δx→0, то x+Δ x→x, следовательно, и ξ→x.
Согласно условию, подынтегральная функция f(t) непрерывна в точке x.
Поэтому
Таким образом,
что и требовалось доказать.

ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА
Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) –ее первообразная на [a,b], тогда:
или (2)

Доказательство: Возьмем функцию
Эта функция является первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b], а любые две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым, то есть существует постоянная С такая, что
для всех

При x=a получим ,
Так как то
Следовательно,
Положив x=b, получим доказываемую формулу
(3)

Пример 1. Вычислить интеграл
Решение.

Пример 2. Вычислить интеграл
Решение.

Пример 3. Вычислить интеграл
Решение.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ПО ЧАСТЯМ.

Теорема. Пусть дан интеграл
где функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b].
Введем новую переменную t по формуле x=φ(t).
Если : 1) функция x=φ(t) и ее производная x′=φ′(t) непрерывны на отрезке [α;β] ;
2) φ(α)=a, φ(β)=b;
3) функция f(φ(t)) определенна и непрерывна на [α;β], тогда
Интегрирование заменой переменной.

Пример. Вычислить интеграл
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической

1) при вычислении определенного интеграла методом замены переменной (методом подстановки) возвращаться к первоначальной переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки x=φ(t) , применяют подстановку t=g(x);
3) необходимо менять пределы интегрирования при замене переменной.