Презентация на тему Планы второго порядка. Композиционные планы Бокса-Уилсона

Содержание

ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА Композиционные планы Бокса-Уилсона Линейная математическая модель, описывающая зависимость отклика «у» от факторов xj довольно часто оказывается неадекватной эксперименту. Число коэффициентов l в полиноме второго порядка l = k+ 1 +k + C2k Если факторов всего два, т.е. две переменных на трех уровнях, то число опытов N = Форма матрицы планирования ПФЭ 32 Форма матрицы планирования ПФЭ 32 приведена в таблице Матрица ПФЭ 33 состоит из 27 опытовгеометрический образ – куб; планируемые точки расположены в его ПФЭ, начиная с k = 3 имеет избыточное количество опытов, намного превышающее число определяемых коэффициентов Сократить число опытов можно, если воспользоваться так называемым композиционным или последовательным планом, предложенным Боксом и ПФЭ 2k или его полуреплика дополняются определенным числом так называемых «звездных точек», расположенных на координатных Число опытов в матрице композиционного плана второго порядка при  k факторах составляетNB = 2k Геометрический образ плана второго порядка для k = 2:Значение α выбирается определенным образом в зависимости Матрица планирования композиционного плана второго порядка Если k  = 3,  Nb = 23 +2·3 + 1 = 15 композиционные планы второго порядка неортогональны: Композиционные планы приводятся к ортогональному виду выбором соответствующего звездного плеча α. в зависимости от числа Значения  α2 для различного числа факторов и количества опытов в центре плана* - для Выбрав α из таблицы и проведя следующее линейное преобразование квадратичных столбцов  xj2получим ортогональную матрицу Построим ортогональный план второго порядка для   k= 2 и n0 = 1. В Ортогональный план второго порядка для k = 2 Другой вариант построения для трех факторов Благодаря ортогональности матрицы планирования, все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга по формулеДисперсии коэффициентов В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получим уравнение Чтобы перейти к обычной записи, определяют b0 по формулеПосле замены b0'  на b0 Хотя формулы для определения дисперсий коэффициентов в общем виде выглядят одинаковооднако для разных столбцов матрицы Ортогональные планы второго порядка не обладают свойством рототабельности, т.к. на равных расстояниях от центра плана Принятие решений по планам второго порядкаНелинейная модель адекватна. Если целью было получение интерполяционной модели (описывающей

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1 ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Композиционные планы Бокса-Уилсона

ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
 Композиционные планы Бокса-Уилсона

Слайд 2 Линейная математическая модель, описывающая зависимость отклика «у» от факторов xj довольно часто

Линейная математическая модель, описывающая зависимость отклика «у» от факторов xj довольно часто оказывается неадекватной эксперименту.
оказывается неадекватной эксперименту.
В этом случае линейность зависимости теряется. Тогда следует переходить к полиномиальной модели второго порядка.

Слайд 3 Число коэффициентов l в полиноме второго порядка

l = k+ 1 +k

Число коэффициентов l в полиноме второго порядка l = k+ 1 +k + C2k
+ C2k (2)

, k - коэффициенты при xj в первой степени,
k - коэффициенты при квадратичных членах,
C2k - количество сочетаний из k факторов по 2, равное числу эффектов парного взаимодействия

 


Слайд 4 Если факторов всего два, т.е. две переменных на трех уровнях, то число

Если факторов всего два, т.е. две переменных на трех уровнях, то число опытов N =
опытов N = 32 = 9 . Число членов в модели l = (2+1)(2+2) / 2 = 6

Вид модели:

геометрическим образом является квадрат, экспериментальные точки располагаются в его вершинах, по центрам граней и в центре.


Слайд 5 Форма матрицы планирования ПФЭ 32

Форма матрицы планирования ПФЭ 32

Слайд 6 Форма матрицы планирования ПФЭ 32 приведена в таблице

Форма матрицы планирования ПФЭ 32 приведена в таблице

Слайд 7 Матрица ПФЭ 33 состоит из 27 опытов

геометрический образ – куб;
планируемые точки

Матрица ПФЭ 33 состоит из 27 опытовгеометрический образ – куб; планируемые точки расположены в его
расположены в его вершинах, в центрах ребер, в центрах граней и одна – в центре куба. Всего 27 точек.

Слайд 8 ПФЭ, начиная с k = 3 имеет избыточное количество опытов, намного превышающее

ПФЭ, начиная с k = 3 имеет избыточное количество опытов, намного превышающее число определяемых коэффициентов
число определяемых коэффициентов уже при k > 2.

Слайд 9 Сократить число опытов можно, если воспользоваться так называемым композиционным или последовательным планом,

Сократить число опытов можно, если воспользоваться так называемым композиционным или последовательным планом, предложенным Боксом и
предложенным Боксом и Уилсоном.
Ядро такого плана составляет ПФЭ 2k при k < 5 или полуреплика от него при k > 5
Возможность использования в качестве ядра плана полуреплики при k > 5 обусловлена тем, что уже полуреплика обеспечивает получение несмешанных оценок для линейных эффектов и эффектов парных взаимодействий.

Слайд 10 ПФЭ 2k или его полуреплика дополняются определенным числом так называемых «звездных точек»,

ПФЭ 2k или его полуреплика дополняются определенным числом так называемых «звездных точек», расположенных на координатных
расположенных на координатных осях факторного пространства и точками в центре плана.

NB = NI + Nα +N0,
NI- число точек ПФЭ 2k;
Nα- число «звездных» точек, равное 2k;
N0- число точек в центре плана.


Слайд 11 Число опытов в матрице композиционного плана второго порядка при k факторах

Число опытов в матрице композиционного плана второго порядка при k факторах составляетNB = 2k +
составляет

NB = 2k + 2k + N0 при k < 5

NB = 2k-1 + 2k + N0 при k > 5


Слайд 12 Геометрический образ плана второго порядка для k = 2:
Значение α выбирается определенным

Геометрический образ плана второго порядка для k = 2:Значение α выбирается определенным образом в зависимости
образом в зависимости от числа опытов в центре плана. Для k = 2 и N0 = 1 α = ± 1 и композиционный план второго порядка совпадает с ПФЭ 32 (9 = 9).

Звездные точки располагаются на осях факторного пространства (осях координат). Расстояние от центра плана до звездной точки – звездное плечо.


Слайд 13 Матрица планирования композиционного плана второго порядка

Матрица планирования композиционного плана второго порядка

Слайд 14 Если k = 3, Nb = 23 +2·3 + 1

Если k = 3, Nb = 23 +2·3 + 1 = 15   k
= 15
k = 4, Nb = 24 +2·4 + 1 = 25
k = 5 Nb = 25 +2·5 + 1 = 43
начиная с k > 5 в основу плана кладется дробный факторный эксперимент – полуреплика от ПФЭ 2k.
k = 5 Nb = 25-1 +2·5 + 1 = 27

Для k = 3 Nb = 15 вместо 27 ( см слайд 8)
нет точек на серединах ребер, только вершины куба, центры граней и центр самого куба.


Слайд 15 композиционные планы второго порядка неортогональны:

композиционные планы второго порядка неортогональны:

Слайд 16 Композиционные планы приводятся к ортогональному виду выбором соответствующего звездного плеча α.
в

Композиционные планы приводятся к ортогональному виду выбором соответствующего звездного плеча α. в зависимости от числа
зависимости от числа опытов в центре плана N0 и числа факторов k можно выбрать величину звездного плеча α таким образом, чтобы матрица планирования стала ортогональной.
В зависимости от N0 и k α. должны иметь следующие значения:

Значения α для различного числа факторов и одного опыта в центре плана


Слайд 17 Значения α2 для различного числа факторов и количества опытов в центре

Значения α2 для различного числа факторов и количества опытов в центре плана* - для k
плана

* - для k = 5 в ДФЭ25-1 используется полуреплика
х5 = х1х2х3х4


Слайд 18 Выбрав α из таблицы и проведя следующее линейное преобразование квадратичных столбцов

Выбрав α из таблицы и проведя следующее линейное преобразование квадратичных столбцов xj2получим ортогональную матрицу
xj2

получим ортогональную матрицу


Слайд 19 Построим ортогональный план второго порядка для k= 2 и n0

Построим ортогональный план второго порядка для  k= 2 и n0 = 1. В отличие
= 1. В отличие от ранее приведенной матрицы планирования ПФЭ 32, вектор-столбцы, соответствующие x12 и x22 , заменяются новыми переменными x1' x2' , которые определяются по формуле

Те же значения будет принимать и x2'

Для ортогонального плана второго порядка, если N0 = 1


Слайд 20 Ортогональный план второго порядка для k = 2

Ортогональный план второго порядка для k = 2

Слайд 21 Другой вариант построения

Другой вариант построения

Слайд 22 для трех факторов

для трех факторов

Слайд 23 Благодаря ортогональности матрицы планирования, все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга

Благодаря ортогональности матрицы планирования, все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга по формулеДисперсии коэффициентов
по формуле

Дисперсии коэффициентов равны s2bj


Слайд 24 В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получим

В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получим уравнение
уравнение

Слайд 25 Чтобы перейти к обычной записи, определяют b0 по формуле
После замены b0'

Чтобы перейти к обычной записи, определяют b0 по формулеПосле замены b0' на b0 (без штриха)
на b0 (без штриха) уравнение имеет обычный вид

Слайд 26 Хотя формулы для определения дисперсий коэффициентов в общем виде выглядят одинаково
однако для

Хотя формулы для определения дисперсий коэффициентов в общем виде выглядят одинаковооднако для разных столбцов матрицы
разных столбцов матрицы планирования

будет иметь разные численные значения.

Следовательно, коэффициенты регрессии для ортогональных планов второго порядка будут определяться с разной точностью.


Слайд 27 Ортогональные планы второго порядка не обладают свойством рототабельности, т.к. на равных расстояниях

Ортогональные планы второго порядка не обладают свойством рототабельности, т.к. на равных расстояниях от центра плана
от центра плана дисперсия для «у» будет различной.

Слайд 32 Принятие решений по планам второго порядка
Нелинейная модель адекватна. Если целью было получение

Принятие решений по планам второго порядкаНелинейная модель адекватна. Если целью было получение интерполяционной модели (описывающей
интерполяционной модели (описывающей область оптимума), то исследование заканчивается.

Нелинейная модель неадекватна. Переход к моделям третьего порядка считается неэффективным из-за сложностей в планировании и вычислительных операциях.
Необходимо: ввести новые факторы; увеличить число опытов; учесть возможность временного дрейфа.

  • Имя файла: plany-vtorogo-poryadka-kompozitsionnye-plany-boksa-uilsona.pptx
  • Количество просмотров: 29
  • Количество скачиваний: 0