Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника. Триангуляция многоугольника. Теорема Бойяи-Гервина презентация

Теорема: площадь произвольного выпуклого четырёхугольника может быть определена по формуле:
Где a, b, c, d – длины сторон, р – полупериметр, δ и β – противолежащие углы четырёхугольника.
Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD АВ = а, ВС = b, CD = c, АD = d; ∠ABC = β, ∠ADC = δ (рис. 1)
Рис. 1

Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле Брахмагупты:
Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:
Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:

Триангуляция многоугольника
Рис. 2

Триангуляция многоугольника
Рис. 3
Из теорем 1 и 2 и вытекает формула Пика:

Теорема Больяя-Гервина
Рис. 4

Теорема Больяя-Гервина
Рис. 5, а
Рис. 5, б
Рис. 6

Задача 1.
Дано: выпуклый четырёхугольник
Докажите, что этот четырёхугольник есть трапеция.
Доказательство.
Рис. 7

Задача 2.
Рис. 8

Задача 2 (продолжение)