Понятие о числовом ряде Частичная сумма и числовой ряд, сходимость числового ряда. Тема 7 презентация

В этом видео
Частичная сумма последовательности
Числовой ряд
Сходимость ряда

Частичная сумма последовательности
Для последовательности частичной
суммой будет называться

Например

Последовательность частичных сумм
Такая последовательность в совокупности
с исходной последовательностью
и называется числовым рядом.

Обозначение числового ряда
- числовой ряд

Сходимость числового ряда
Числовой ряд сходится, если сходится
последовательность его частичных сумм

Абсолютная сходимость
числового ряда
Числовой ряд сходится абсолютно, если
сходится ряд из модулей его членов

Например:

Например:

Например:

Неразрешенные проблемы:

Итоги
Дано определение частичных сумм
Сформировано понятие о числовом ряде
Исследована сходимость числовых рядов

Признаки сходимости числовых рядов
Решение задачи о сходимости числового ряда
Часть 7 Тема 2

В этом видео
Признак д’Аламбера
Признак Коши
Признак Лагранжа
Признак Раабе

Признак д’Аламбера сходимости числового ряда
- ряд сходится
- ряд расходится

Например:

Например:

Признак Коши сходимости числового ряда
Пусть заданы и ,
тогда если , то ряд сходится, если ,
то расходится.

Например:

Например:

Признак Лейбница сходимости числового ряда
Пусть
Если И ,
то ряд сходится.

Теорема Лейбница
Пусть
Тогда

Теорема Лейбница
Тогда

Теорема об оценке остатка ряда
Пусть
Если и ,
то

Например:
- сходится условно
- сходится условно

Признак Раабе сходимости числового ряда
Пусть заданы и
Если , то ряд сходится,
а если , то ряд расходится

Например:

Вычисление суммы ряда
import math
def a(i):
return (-1)**n/(i**2)
acc = 0.0001
sum = 0
i = 1
while (math.fabs(a(i)) > acc and math.fabs(a(i))>math.fabs(a(i+1)))
summ = summ + a(i)
i = i + 1
print (i, summ)

Итоги
Признаки сходимости различаются по силе
Все признаки сходимости основаны на сравнении

Разложение функции в ряд
Исследование аналитичности функций
Часть 7 Тема 3

В этом видео
Ряд Тейлора
Ряд Фурье

Ряд Тейлора
применяется для разложения функций в бесконечный ряд степенных функций.

Ряд Тейлора

Например:

Например:

Многочлен Тейлора

Например:

Ряд Маклорена

Область сходимости ряда Тейлора

Например:

Формула Тейлора

Аналитичность функции
Наличие производной бесконечного порядка

Например:

Ряд Фурье
применяется для разложения функции с периодом в бесконечный ряд

Ряд Фурье

Тригонометрический ряд Фурье