Современные методы статистического анализа кадастровых данных. Этапы построения моделей презентация

Этапы построения моделей

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи (в определении функции), в котором изменение одной величины (результативного признака) обусловлено влиянием независимой величины (факторного признака).
Количественно оценить данную взаимосвязь можно с помощью построения уравнения регрессии или регрессионной функции.

Задачи регрессионного анализа

Линейная регрессия — используемая в статистике регрессионная модель зависимости одной (объясняемой, зависимой) переменной y от другой или нескольких других переменных (факторов, регрессоров, независимых переменных) x с линейной функцией зависимости.

Линейная парная модель наблюдений
если α и β— «истинные» значения параметров линейной модели связи, то
ε представляет собой случайный член или ошибку в i-ом наблюдении

Случайная величина ε характеризует отклонение реального значения результативного признака от теоретического.
Влияет на не учтённые в модели факторы, случайных ошибок и особенностей измерений.

Невключение объясняющих переменных. Т.е. существуют другие факторы, влияющие на у, которые не учтены в уравнении. Влияние их приводит к тому, что точки не лежат на одной прямой.
Агрегирование переменных. Рассматриваемая зависимость является попыткой объединить некоторое число объектов, которые, возможно, обладают различными характеристиками.
Неправильное описание структуры модели. Т.е., если зависимость относится к данным о временном ряде, то значение у может зависеть не от фактического значения x, а от значения, которое ожидалось в предыдущем периоде. Если ожидаемое и фактическое значение тесно связаны, то будет казаться, что между y и x существует зависимость, но это будет лишь аппроксимация, и расхождение вновь будет связанно с наличием случайного члена.
Неправильная функциональная спецификация. Т.е. функциональное соотношение между y и x может быть определено неправильно.
Ошибки измерения. Если в измерении одной или более взаимосвязанных переменных имеются ошибки, то наблюдаемые значения не соответствуют такому соотношению, и существующие расхождения будут увеличивать значения остаточного члена.
Причины возникновения случайной ошибки:

Параметр β - коэффициент регрессии - на сколько в среднем изменится результативный признак y при изменении факторного признака x на единицу своего измерения.
Знак параметра β в уравнении парной регрессии указывает на направление связи.
Если, β > 0, то связь между изучаемыми показателями прямая, т. е. с увеличением факторного признака x увеличивается и результативный признак, и наоборот.
Если β < 0, то связь между изучаемыми показателями обратная, т. е. с увеличением фактора x результат уменьшается, и наоборот.

Значение параметра α в уравнении парной регрессии трактуется как среднее значение результативного признака y при условии, что факторный признак x равен нулю. Такая трактовка параметра α возможна только в том случае, если значение x = 0 имеет смысл.

.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно
a и b.

Нелинейная регрессия — это вид регрессионного анализа, в котором экспериментальные данные моделируются функцией, являющейся нелинейной комбинацией параметров модели и зависящей от одной и более независимых переменных

Классы нелинейных регрессий
полиномы разных степеней
равносторонняя гипербола
степенная
показательная
экспоненциальная

Оценка значимости построенной модели парной регрессии
Адекватность модели (качество)
Значимость коэффициентов уравнения регрессии

Адекватность модели (качество)
1) коэффициент апроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Допустимый предел значений – не более 8-10%.

2) доля дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака y характеризует индекс детерминации R2:
Адекватность модели (качество)
чем ближе к 1, тем лучше качество модели

3) F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Ho о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.
где n – число единиц совокупности,
m – число параметров при переменных x.
Адекватность модели (качество)
Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии
1) t-критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.
t-критерия Стьюдента рассчитываются для параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции

Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки

2) Доверительный интервал – предельные значения статистической величины, которая с заданной доверительной вероятностью будет находится в этом интервале при выборке большего объема.
Значимость коэффициентов уравнения регрессии
определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя

расчет доверительных интервалов
Значимость коэффициентов уравнения регрессии
,
,
.

Значимость коэффициентов уравнения регрессии
.
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательная, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

.
Множественная регрессия - изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками. Требуется определить аналитическое выражение связи между признаком y и объясняющими переменными x1, x2, …, xn в виде y = f(x1, x2, …, xn).

.
Этапы построения модели множественной регрессии

Линейная множественная модель наблюдений
α - значения параметров линейной модели связи

.
Оценка значимости построенной модели
1) Коэффициент множественной детерминации
квадрат индекса множественной корреляции
где n – число наблюдений,
m – число факторов

.
4) Мультиколлинеарность – понятие, которое используется для описания проблемы, когда нестрогая линейная зависимость между факторами приводит к получению ненадежных оценок регрессии

.
4) F-критерий Фишера

Значимость коэффициентов уравнения регрессии
1) t-критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.
где
mbi - средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии bi,

Нелинейные множественные регрессионные модели
Степенная:
Параболическая:
Гиперболическая:
Показательная