Второй и третий признаки равенства треугольников презентация

Повторение: Треугольник
В
А
С
Дано:
∆АВС
А, В, С – вершины ∆АВС
АВ, ВС, АС– стороны ∆АВС
∠А, ∠В, ∠С – углы ∆АВС
Вершины (3)
Стороны (3)
Углы (3)

Теорема
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Первый признак равенства треугольников
Дано:
∆АВС, ∆А1В1С1
АС = А1С1, АВ = А1В1,
∠А = ∠А1
Доказать:
∆АВС = ∆А1В1С1

Перпендикуляр к прямой
Дано:
прямая а,
АН – перпендикуляр к а
АН ⊥ а
Н – основание перпендикуляра
А
а
Н

Теорема
Из точки не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Перпендикуляр к прямой
В
Дано:
прямая ВС, А∉ВС
Доказать:
1) существует АН ⊥ ВС;
2) АН – единственный ⊥
А
М
С

Определение
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Медиана треугольника
Дано:
∆АВС, М∈ВС
ВМ = МС
АМ – медиана ∆АВС
М

В
А
С
Любой треугольник имеет три медианы.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Медиана треугольника
Дано: ∆АВС
А1∈ВС, ВА1 = А1С;
В1∈АС, АВ1 = В1С;
С1∈АВ, АС1 = С1В;
АА1 ВВ1, СС1 – медианы ∆АВС
А1
С1
В1

Определение:
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
Биссектриса треугольника
Дано:
∆АВС, ∠ВАК = ∠САК,
К∈ВС
АК – биссектриса ∆АВС
К

В
А
С
Любой треугольник имеет три биссектрисы.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Дано: ∆АВС
А1∈ВС, ∠ВАА1 = ∠САА1;
В1∈АС, ∠АВВ1 = ∠СВВ1;
С1∈АВ, ∠ВСС1 = ∠АСС1;
АА1 ВВ1, СС1 – биссектрисы ∆АВС
А1
С1
В1
Биссектриса треугольника

Определение
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Высота треугольника
Дано:
∆АВС, АН ⊥ ВС, Н∈ВС
АН – высота ∆АВС
Н

В
А
С
Любой треугольник имеет три высоты.
Высоты треугольника или их продолжение пересекаются в одной точке.
Дано: ∆АВС
А1∈ВС, АА1 ⊥ ВС;
В1∈АС, ВВ1 ⊥ АС;
С1∈АВ, СС1 ⊥ АВ;
АА1 ВВ1, СС1 – высоты ∆АВС
А1
С1
В1
Высота треугольника

Дано: ∆АВС
АВ = АС
АВ, АС – боковые стороны ∆АВС
ВС – основание ∆АВС
В
А
С
Равнобедренный треугольник
Определение
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
боковая сторона
основание
боковая сторона

Дано: ∆АВС
АВ = АС = ВС
В
А
С
Равносторонний треугольник
Определение
Треугольник, все стороны которого равны называется равносторонним.

Дано: ∆АВС
АВ = АС
В
А
С
Свойства равнобедренного треугольника
Теорема 1
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
1
2
Доказать:
∠В = ∠С
D

Дано: ∆АВС
АВ = АС; ∠1 = ∠2.
В
А
С
Свойства равнобедренного треугольника
Теорема 2
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
1
2
3
4
Доказать:
1) BD = DC;
2) AD ⊥ DC.
D

Утверждение 1
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
Утверждение 2
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Дано: ∆АВС – р/б
АВ = АС;
BD = DC;
AD ⊥ DC;
∠В = ∠С.
Свойства равнобедренного треугольника

Теорема
Если сторона и два прилежащих к ней углам одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников
Дано:
∆АВС, ∆А1В1С1
АВ = А1В1,
∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1
Доказать:
∆АВС = ∆А1В1С1

Теорема
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
Дано:
∆АВС, ∆А1В1С1
АВ = А1В1,
АС = А1С1,
ВС = В1С1
Доказать:
∆АВС = ∆А1В1С1