Введение в тригонометрию презентация

Содержание

Слайд 2

Радианная мера угла
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется

углом в один радиан.
Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как дуга длиной R (полуокружность) стягивает центральный угол в , то дуга длиной R стягивает угол в раз меньший, т.е.
Так как =3,14, то 1 рад=57,3 .
Если угол содержит а радиан, то его градусная мера равна

1 рад

Радианная мера угла Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности,

Слайд 3

+

-

Р

(α >0)

α

(α >0)

Р

α

У

х

0

Положительные и отрицательные углы в окружности

Р

ОР 0Р
повернули на

угол α
против часовой стрелки

о

о

α

(α >0)

0Р ОР
повернули на угол
по часовой стрелки

о

α

(α >0)

Угол поворота радиуса ОР против часовой стрелки считается положительным,
а по часовой --- отрицательным

о

R=1

II

I

III

IV

Начало отсчета углов - в точке (1;0)

+ - Р (α >0) α (α >0) Р α У х 0

Слайд 4

*

Радианная мера угла

Единичной окружностью
называется окружность с центром в начале координат и

радиусом, равным единице.

* Радианная мера угла Единичной окружностью называется окружность с центром в начале координат

Слайд 5

Числовая окружность.

Начало отсчета числовой
прямой, единичный отрезок
которой равен радиусу
единичной окружности,
совместим

с концом
одного из радиусов

Затем будем
«наматывать»
числовую прямую
на окружность

.

Мы получили
числовую окружность

И так далее…

Числовая окружность. Начало отсчета числовой прямой, единичный отрезок которой равен радиусу единичной окружности,

Слайд 6

Начало отсчета числовой
прямой, единичный отрезок
которой равен радиусу
единичной окружности,
совместим с концом


одного из радиусов

Числовая окружность.

Затем будем
«наматывать»
числовую прямую
на окружность

Таким образом, каждой
точке числовой прямой
будет поставлена
в соответствие точка
единичной окружности.

Мы получили
числовую окружность

И так далее…

Начало отсчета числовой прямой, единичный отрезок которой равен радиусу единичной окружности, совместим с

Слайд 7

И так далее…

Числовая окружность.

Проследите за тем как откладываются на числовой окружности положительные

числа.

Очевидно, что каждой точке числовой окружности соответствует бесконечно много чисел

И так далее… Числовая окружность. Проследите за тем как откладываются на числовой окружности

Слайд 8

И так далее…

Числовая окружность.

Проследите за тем как откладываются на числовой окружности отрицательные

числа.

И так далее… Числовая окружность. Проследите за тем как откладываются на числовой окружности отрицательные числа.

Слайд 9

Числовая окружность.

Числовой окружностью
называется единичная
окружность, для
которой указано
начало отсчета
и положительное


направление

I

II

III

IV

Начало
отсчета

Числовая окружность. Числовой окружностью называется единичная окружность, для которой указано начало отсчета и

Слайд 10

Два макета.

Окружность поделена на восемь
равных дуг (каждая дуга =π/4)

Окружность поделена на


двенадцать равных дуг
(каждая дуга=π/6)

Отмечаем числа со знаменателем
1, 2, 4

Отмечаем числа со знаменателем
1, 2, 3, 6
Пример. Отметим число . Для этого от начала отсчета против
часовой стрелки отложим дугу длины . Конец этой дуги будет соответствовать данному числу.
Пример. Отметим число . Для этого от начала отсчета по
часовой стрелке отложим дугу длины . Конец этой дуги будет соответствовать данному числу.

Два макета. Окружность поделена на восемь равных дуг (каждая дуга =π/4) Окружность поделена

Слайд 11

Некоторые свойства.
Точке числовой окружности, в отличии от точки числовой прямой, соответствует не

одно число.

?

?

Числам t и t +2πk (k ϵ Z) соответствует одна точка числовой окружности

назад

Некоторые свойства. Точке числовой окружности, в отличии от точки числовой прямой, соответствует не

Слайд 12

Некоторые свойства.
Симметрия относительно центра окружности

?

?

Числам t и t +πk (k ϵ Z)

соответствуют точки, симметричные относительно центра окружности

Некоторые свойства. Симметрия относительно центра окружности ? ? Числам t и t +πk

Слайд 13

Некоторые свойства.
Числам t и –t соответствуют точки, симметричные относительно горизонтального диаметра.

Симметрия относительно

горизонтального диаметра

?

?

Некоторые свойства. Числам t и –t соответствуют точки, симметричные относительно горизонтального диаметра. Симметрия

Слайд 14

Некоторые свойства.
Числам t и π–t соответствуют точки, симметричные относительно вертикального диаметра.

Симметрия относительно

вертикального диаметра

?

?

+

Некоторые свойства. Числам t и π–t соответствуют точки, симметричные относительно вертикального диаметра. Симметрия

Слайд 15

Как отметить на окружности большие числа?

Подумай, как воспользоваться свойством и составь алгоритм

Потренируйся

выполнять первый шаг алгоритма

1)

Выделить целую четную часть

1 свойство:числам 1 свойство:числам t 1 свойство:числам t и 1 свойство:числам t и t1 свойство:числам t и t 1 свойство:числам t и t +21 свойство:числам t и t +2π1 свойство:числам t и t +2πk (k 1 свойство:числам t и t +2πk (k ϵ1 свойство:числам t и t +2πk (k ϵ Z) 1 свойство:числам t и t +2πk (k ϵ Z) соответствует одна точка числовой окружности

Воспользоваться первым свойством

2)

(числам и соответствует
одна точка окружности)

2π =3600

Как отметить на окружности большие числа? Подумай, как воспользоваться свойством и составь алгоритм

Слайд 16

Тренажер№1 Отметьте на числовой окружности числа.

Для проверки кликни по выбранному числу

Тренажер№1 Отметьте на числовой окружности числа. Для проверки кликни по выбранному числу

Слайд 17

Тренажер№2 Подпишите точки окружности. tϵ[0;2π].

очистить

Для проверки кликни по выбранной точке

Тренажер№2 Подпишите точки окружности. tϵ[0;2π]. очистить Для проверки кликни по выбранной точке

Слайд 18

Тренажер№3 Подпишите точки окружности. tϵ[-2π;0].

очистить

Для проверки кликни по выбранной точке

Тренажер№3 Подпишите точки окружности. tϵ[-2π;0]. очистить Для проверки кликни по выбранной точке

Слайд 19

Тренажер№4 Подпишите точки окружности. tϵ[2π;4π].

очистить

Для проверки кликни по выбранной точке

Тренажер№4 Подпишите точки окружности. tϵ[2π;4π]. очистить Для проверки кликни по выбранной точке

Слайд 20

Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки

(1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается cos )
Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается sin )

В этих определениях угол может выражаться как в градусах, так и в радианах.

Определение синуса, косинуса и тангенса угла Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом

Слайд 21

Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его

косинусу (обозначается tg )
Таким образом,
Иногда используется котангенс угла (обозначается ctg ), который определяется формулой

Определение синуса, косинуса и тангенса угла Тангенсом угла называется отношение синуса угла к

Слайд 22

Знаки тригонометрических функций.

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II


III

IV

Знаки тригонометрических функций. I II III IV I II III IV I II III IV

Слайд 23

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

- основное

тригонометрическое тождество.
Из него можно выразить sin через cos и cos через sin :
В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы.

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла - основное

Слайд 24

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла


Выясним теперь

зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению тангенса и котангенса
Перемножая эти равенства, получаем .
Из этого равенства можно выразить tg через ctg и наоборот:

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла Выясним теперь

Слайд 25

*

*

Слайд 26

Пусть точки М1 и М2 единичной окружности получены поворотом точки Р(1;0) на углы

и соответственно). Тогда ось 0х делит угол М10М2 пополам, и поэтому точки М1 и М2 симметричны относительно оси 0х.
Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаками. Точка М1 имеет координаты ( ), точка М2 имеет координаты .
Следовательно,
Используя определение тангенса, получаем .
Таким образом,

Синус, косинус и тангенс углов и

Пусть точки М1 и М2 единичной окружности получены поворотом точки Р(1;0) на углы

Слайд 27

Формулы сложения

Теорема. Для любых и справедливо равенство

Формулы сложения Теорема. Для любых и справедливо равенство

Слайд 28

Синус, косинус и тангенс двойного угла

Выведем формулы синуса и косинуса двойного угла, используя

формулы сложения.

1.
Итак,

2.
Итак,

Полагая в формуле получаем

Синус, косинус и тангенс двойного угла Выведем формулы синуса и косинуса двойного угла,

Слайд 29

Тригонометрические функции числового аргумента.

y = sin x

y = cos x

Тригонометрические функции числового аргумента. y = sin x y = cos x

Слайд 30

Построение графика функции y = sin x.

Построение графика функции y = sin x.

Слайд 31

Построение графика функции y = sin x.

Построение графика функции y = sin x.

Слайд 32

Построение графика функции y = sin x.

Построение графика функции y = sin x.

Слайд 33

Функция у = sin x.

3. Функция у = sin α нечетная, т.к. sin

(- α) = - sin α

1. Областью определения функции является множество
всех действительных чисел ( R )

2. Областью изменений (Областью значений) - [ - 1; 1 ].

Функция периодическая, с главным периодом 2π.
sin ( α + 2π ) = sin α.

5. Функция непрерывная

6. Возрастает: [ - π/2; π/2 ].

Убывает: [ π/2; 3π/2 ].

+

+

+

-

-

-

Функция у = sin x. 3. Функция у = sin α нечетная, т.к.

Слайд 34

Построение графика функции y = cos x.

График функции у = cos x получается

переносом
графика функции у = sin x влево на π/2.

Sin (x + π/2) = sin x cos π/2 + sin π/2 cos x = cos x

Построение графика функции y = cos x. График функции у = cos x

Имя файла: Введение-в-тригонометрию.pptx
Количество просмотров: 174
Количество скачиваний: 0