Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 8 презентация

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
2.6. Замыкание и внутренность выпуклых множеств(продолжение).
2.7. Внутренность и относительная внутренность выпуклых множеств.

и
Теорема 15.
Тогда
справедливо включение
2.6. Замыкание и внутренность выпуклых множеств(продолжение).
имеет место
Доказательство. 1)

при чем

Покажем, что справедливо вложение
С другой стороны из
Действительно,
Вложение (6) доказано.

то
и пункт 1) теоремы доказан.
2) Пусть теперь

Тогда
По доказанному первому пункту теоремы
что противоречит условию
Очевидно, что из доказанной теоремы сразу следует справедливость теоремы 14.
Теорема доказана полностью.
Упражнение 1.
Из утверждения теоремы 15
вывести утверждение теоремы 14:
внутренность выпуклых множеств выпукла.
Решение.

2.7. Внутренность и относительная внутренность выпуклых множеств.
а отрезок прямой – нет.
Лемма 1.
- симплекс, натянутый на точки
Тогда
Доказательство.
Полагаем
Покажем, что
линейных алгебраических уравнений

Полагаем
система (2)
принимает вид

Действительно,

Тогда
находим
В силу непрерывности функций
вытекают неравенства

Последнее включение означает, что
Лемма доказана.

Упражнение 1.
линейно независимы.

Теорема 16.
необходимо и достаточно,
Доказательство. Необходимость.
Отсюда выводим
Необходимость доказана.

Достаточность.
Обозначим через
максимальный набор линейно независимых векторов,
Обозначим через

Из максимальности набора линейно независимых векторов
выполняется
Теорема доказана.
По условию теоремы

Пример 9.
Выпуклое множество
представляющее собой единичный круг в плоскости
не имеет внутренних точек.
то его внутренность не пуста.
Рассмотренный пример приводит к следующему определению.
Определение 12.

Например, множество, состоящее из двух различных точек.
Теорема 17.
Доказательство.
Тогда