Слайд 2
![5.1. Параллельность прямой и плоскости; двух плоскостей. Прямая параллельна плоскости,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-1.jpg)
5.1. Параллельность прямой и плоскости; двух плоскостей.
Прямая параллельна плоскости,
если она параллельна прямой, принадлежащей плоскости.
Плоскость параллельна прямой, если она проходит через прямую параллельную данной прямой.
Слайд 3
![Пример 1. Через точку А провести горизонталь, параллельную плоскости α.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-2.jpg)
Пример 1. Через точку А провести горизонталь, параллельную плоскости α.
Слайд 4
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-3.jpg)
Слайд 5
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-4.jpg)
Слайд 6
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-5.jpg)
Слайд 7
![Пример 2 Достроить фронтальную проекцию ΔАВС, плоскость которого параллельна прямой l.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-6.jpg)
Пример 2 Достроить фронтальную проекцию ΔАВС, плоскость которого параллельна прямой l.
Слайд 8
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-7.jpg)
Слайд 9
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-8.jpg)
Слайд 10
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-9.jpg)
Слайд 11
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-10.jpg)
Слайд 12
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-11.jpg)
Слайд 13
![Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-12.jpg)
Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны
двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Если плоскости заданы следами, то одноименные следы параллельных плоскостей параллельны.
Слайд 14
![Пример 3. Через точку А провести плоскость β параллельную плоскости α.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-13.jpg)
Пример 3. Через точку А провести плоскость β параллельную плоскости α.
Слайд 15
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-14.jpg)
Слайд 16
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-15.jpg)
Слайд 17
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-16.jpg)
Слайд 18
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-17.jpg)
Слайд 19
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-18.jpg)
Слайд 20
![Пример 4. Через точку А провести плоскость β параллельную плоскости α, заданной следами.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-19.jpg)
Пример 4. Через точку А провести плоскость β параллельную плоскости α,
заданной следами.
Слайд 21
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-20.jpg)
Слайд 22
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-21.jpg)
Слайд 23
![5.2. Пересечение прямой с плоскостью в общем случае. Определение видимости.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-22.jpg)
5.2. Пересечение прямой с плоскостью в общем случае. Определение видимости.
Дано:
α,
l
Найти:
К = α ∩ l
Алгоритм решения:
l ⊂ γ
γ ∩ α = 1-2
1-2 ∩ l = K
Определяем видимость l
Слайд 24
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-23.jpg)
Слайд 25
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-24.jpg)
Слайд 26
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-25.jpg)
Слайд 27
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-26.jpg)
Слайд 28
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-27.jpg)
Слайд 29
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-28.jpg)
Слайд 30
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-29.jpg)
Слайд 31
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-30.jpg)
Слайд 32
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-31.jpg)
Слайд 33
![5.3. Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая перпендикулярна плоскости, если она](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-32.jpg)
5.3. Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Слайд 34
![Пример 1: Из точки А и В провести прямые m и n перпендикулярные плоскости α.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-33.jpg)
Пример 1: Из точки А и В провести прямые m и
n перпендикулярные плоскости α.
Слайд 35
![Чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости, надо иметь на чертеже (или](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-34.jpg)
Чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости, надо иметь на чертеже (или построить)
горизонталь и фронталь этой плоскости. Тогда горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтали, а фронтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна фронтали.
Слайд 36
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-35.jpg)
Слайд 37
![m' ⊥ h '; m ' ' ⊥ v '](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-36.jpg)
m' ⊥ h '; m ' ' ⊥ v ' ';
m
⊥ α (h ∩ v)
n ' ⊥ h '; n ' ' ⊥ v ' ';
n ⊥ α (h ∩ v)
Слайд 38
![Пример 2: Из точки А и В провести прямые m и n перпендикулярные плоскости β.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-37.jpg)
Пример 2: Из точки А и В провести прямые m и
n перпендикулярные плоскости β.
Слайд 39
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-38.jpg)
Слайд 40
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-39.jpg)
Слайд 41
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-40.jpg)
Слайд 42
![Если плоскость задана следами, то проекции перпендикуляра перпендикулярны одноименным следам плоскости.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-41.jpg)
Если плоскость задана следами, то проекции перпендикуляра перпендикулярны одноименным следам плоскости.
Слайд 43
![m’ ⊥ αH; m’’ ⊥ αV; m ⊥ α](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-42.jpg)
Слайд 44
![Пример 3: Определить расстояние от точки М до плоскости ΔАВС.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-43.jpg)
Пример 3: Определить расстояние от точки М до плоскости ΔАВС.
Слайд 45
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-44.jpg)
Слайд 46
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-45.jpg)
Слайд 47
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-46.jpg)
Слайд 48
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-47.jpg)
Слайд 49
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-48.jpg)
Слайд 50
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-49.jpg)
Слайд 51
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-50.jpg)
Слайд 52
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-51.jpg)
Слайд 53
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-52.jpg)
Слайд 54
![1. 2/АС – горизонталь (A’C’ // OX). Строим фронталь А-1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-53.jpg)
1. 2/АС – горизонталь (A’C’ // OX).
Строим фронталь А-1
(А’1’ //
OX)
2. m’ ⊥ A’C’; m’’ ⊥ A’’1’’
(m ⊥ ΔABC)
3. Заключаем m’ в горизонтально-проецирующую плоскость α
4. α ∩ ΔABC = (2-3)
5. (2’’-3’’) ∩ m’’ = K’’
m ∩ ΔABC = K
6. Определяем н.в. [МК]
Слайд 55
![Пример 4: Через точку А провести плоскость, перпендикулярную прямой l.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-54.jpg)
Пример 4: Через точку А провести плоскость, перпендикулярную прямой l.
Слайд 56
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-55.jpg)
Слайд 57
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-56.jpg)
Слайд 58
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-57.jpg)
Слайд 59
![5.4. Перпендикулярность двух прямых в общем случае Две прямые перпендикулярны](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-58.jpg)
5.4. Перпендикулярность двух прямых в общем случае
Две прямые перпендикулярны плоскости,
если одна из них принадлежит плоскости, перпендикулярной к другой прямой.
α(h ∩ v) ⊥ l
α ∩ l = K
AK ⊥ l
Слайд 60
![Пример 5: Построить горизонтальную проекцию прямой m, если m ⊥ l.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-59.jpg)
Пример 5: Построить горизонтальную проекцию прямой m, если m ⊥ l.
Слайд 61
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-60.jpg)
Слайд 62
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-61.jpg)
Слайд 63
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-62.jpg)
Слайд 64
![Алгоритм решения: α (h ∩ v) ⊥ l; A ⊂](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-63.jpg)
Алгоритм решения:
α (h ∩ v) ⊥ l; A ⊂ α
m
⊂ α; (1-2) ∩ m = M
(1-2) ⊂ α
Слайд 65
![5.5. Перпендикулярность двух плоскостей Две плоскости перпендикулярны, если она из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-64.jpg)
5.5. Перпендикулярность двух плоскостей
Две плоскости перпендикулярны, если она из них
проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.
Слайд 66
![Пример 6: Через прямую а провести плоскость β ⊥ α. Плоскость α задана следами.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-65.jpg)
Пример 6: Через прямую а провести плоскость β ⊥ α. Плоскость
α задана следами.
Слайд 67
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-66.jpg)
Слайд 68
![b’ ⊥ αH, b’’ ⊥ αV ⇒ α ⊥ β (a ∩ b)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-67.jpg)
b’ ⊥ αH, b’’ ⊥ αV ⇒
α ⊥ β (a ∩
b)
Слайд 69
![Пример 7: Через прямую а провести плоскость β ⊥ α.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-68.jpg)
Пример 7: Через прямую а провести плоскость β ⊥ α.
Слайд 70
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-69.jpg)
Слайд 71
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-70.jpg)
Слайд 72
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-71.jpg)
Слайд 73
![Две плоскости, заданные следами, перпендикулярны, если перпендикулярна одна пара следов. α ⊥ β](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/59306/slide-72.jpg)
Две плоскости, заданные следами, перпендикулярны, если перпендикулярна одна пара следов.
α
⊥ β