Решение показательных уравнений презентация

Cвойства показательной функции:
Известно, что показательная функция у=ах
при а>1 возрастает , а при 0<а<1 убывает.
при а>1 при 0<а<1
При х=0 у=1 При х=0 у=1
При любых х функция у=ах принимает значения у>0.

СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ
а0=1;
аmаn=аm+n;
аmвm=(aв)m;
am/an=am-n;
(am)n=amn;
аm*вm=(а*в)m,
am/вm=(а/в)m,
а-к=1/ак;

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Показательным называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени, например:
2Х=4; 3х=2х; 5Х-2=25.
Рассмотрим типы решения показательных уравнений:
1 тип: приведение показательного уравнения к виду аf(x) =аu(x).
Известно, что показательная функция у=ах при а>0, а≠1 возрастает или убывает, поэтому каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента.
Из равенства аf(х) = аu(х) следует равенство F(х)=U(х).
Этим утверждением руководствуются при решении показательных уравнений, т.е. обе части уравнения приводят к степени с одинаковым основанием.
ПРИМЕР 1
53Х-2=510-Х; 3Х-2=10-Х; 3Х+Х=10+2; 4Х=12; Х=3.
ПРИМЕР 2
(7/2)Х=(2/7) 4 -5Х; (7/2)Х=(7/2) -4+5Х; Х=-4+5Х; Х-5Х+4=0; Х=4.
ПРИМЕР 3
(2/3)х(9/8)х=27/64. Т.к. показатели степени одинаковые, то при умножении степеней с одинаковыми показателями надо перемножить их основания, а показатель степени оставить прежним, т.е.
(2/3*9/8)х=27/64; (3/4)х=(3/4)3; Х=3.

Решение уравнений.
2 ТИП: вынесение общего множителя за скобки.
ПРИМЕР 1
3Х-2*3Х-2=63; 3Х-2(3Х-Х+2-2)=63;
3Х-2*7=63; 3Х-2=9; 3Х-2=32;
Х-2=2; Х=4.
ПРИМЕР 2 ПРИМЕР 3
52Х-1-52Х+22Х+22Х+2=0; 23Х+2-23Х+1 =12+23Х-1;
22Х+22Х 22=52Х-52Х 5-1; 23Х-1(23-22-1)=12;
22Х(1+22)=52Х(1-5-1); 23Х-1*3=12;
22Х 5=52Х(1-1/5); 23Х-1=4;
22Х*5=52Х*4/5; 23Х-1=22;
(2/5)2Х=4/(5*5); 3Х-1=2; 3Х=3;
(2/5)2Х=(2/5)2; Х=1.;
2Х=2; Х=1.

3 ТИП : ПРИВЕДЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ.
ПРИМЕР 1.
72Х-8*7Х+7=0.
Введем подстановку: 7х=у, тогда у2-8*у+7=0.
Решаем уравнение и находим корни
D=в2-4ас, D =36; у1=(8+6)/2=7; у2=(8-6)/2=1;
Подставим значения переменной у в подстановку.
7х=7 или 7х=1
Х=1 или 7х=70 , х=0.
ПРИМЕР 2
22+Х-22-Х=15;
22*2Х-22/2Х=15;
4*2Х-4/2Х=15;
Пусть 2х=у, тогда
4у-4/у=15;
4у2-4==15у;
4у2-15у-4=0;
Д=289 у1=(15+17)/(2*4); у2=(15-17)/8=-1/4;
Подставим найденные значения у в подстановку. Получим
2х=4, 2х=22 , х=2 . или 2х=-1/4;решения нет.